¿Pares de $(p,q)$ tal que $p^2 + 1 = 2 q^2$?

Question

Hacer pares $(p,q)$ de números naturales distintos de cero, es decir $p \in\Bbb N$, $q \in\Bbb N$, $p \ne 0$ y $q \ne 0$, tienen un especial nombre, cuando satisfacen la siguiente ecuación:

$$p^2 + 1 = 2 q^2$$

Hay un número infinito de ellos. en caso afirmativo, ¿hay una manera sistemática generada, como por ejemplo es el caso de triples pythagorean?

Answer 1

Estas son las denominadas "unidades del entero anillo $\Bbb Z[\sqrt 2]$ $-1$ de la norma." Se sabe que son exactamente los coeficientes enteros de lo números $p+q\sqrt 2$ cuando

$$p+q\sqrt 2= (1+\sqrt{2})^{2n+1}, n\in\Bbb Z.\qquad (*)$$

Así que sí, hay un número infinito, y para generarlos que necesita sólo realice el procedimiento de $(*)$, que es, utilizando el teorema del binomio, tenemos para cada $n\in\Bbb Z$

$$\begin{cases} p = \displaystyle\sum_{k=0}^n{2n+1\choose 2k}2^k \\ q = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}{2n+1\choose 2k+1}2^{k-1}\end{cases}.$$

Answer 2

Publicado hace algún tiempo era muy similar cuestión de encontrar p, q, tal que $p^2 ± 1 = 2 q^2$. Aquí es cómo usted podría resolver sin ninguna profundo de las matemáticas en lo absoluto:

Paso 1: Encontrar el primer par de soluciones. $1^2 = 2·0^2 + 1$, $1^2 = 2·1^2 - 1$, $3^2 = 2·2^2 + 1$, $7^2 = 2·5^2 - 1$, $17^2 = 2·12^2+1$, $41^2 = 2·29^2 - 1$ y así sucesivamente.

Paso 2: Buscar un patrón.

Paso 3: Probar por inducción que si p, q son una solución, ... y ... son una solución. Esto le da un número infinito de soluciones.

Paso 4: Probar hacia atrás que si ... y ... son una solución, entonces p y q son una solución. Probar que p y q se hacen más pequeños al hacer este cálculo, y muestran que, por tanto, a partir de cualquier solución, usted puede rastrear de nuevo a la solución de $1^2 = 2·0^2 + 1$. A la conclusión de que la solución que has encontrado es el único.

Usted puede hacer esto y dejar de lado cada segundo de la solución, o ir directamente a la solución de su problema - el patrón será más difícil de encontrar.

Answer 3

Robando a otras personas trabajan, es decir, Adam Hughes, incluso podemos obtener una fórmula de recursión. Sólo observar que a partir de:

$$p + q \sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2n+1}$$

We have:

$$p' + q' \sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2(n+1)+1}$$

$$= (1 + \sqrt{2})^{2n+1} (1 + \sqrt{2})^2$$

$$= (p + q \sqrt{2})\,(3 + 2 \sqrt{2})$$

$$= (3 p + 4 q) + (2 p + 3 q) \sqrt{2}$$

Hence:

$$p' = 3 p + 4 q$$

$$q' = 2 p + 3 q$$

Here are some example numbers, computing $p/q$ we get approximations of $\sqrt{2}$:

     P       Q          P/Q
     1       1  1.000000000
     7       5  1.400000000
    41      29  1.413793103
   239     169  1.414201183
  1393     985  1.414213198
  8119    5741  1.414213552
 47321   33461  1.414213562