Yo estaba jugando con la serie cuando Wolfram me dijo que $$\sum_{n\geqslant 1}2^{-n!}=0.765625059604644775390625\color{Red}{000000000000}752316384526264\ldots$$ y mis ojos, obviamente, se detuvo en la zona roja. Doce decimales! Del mismo modo, $$\begin{align} \sum_{n\geqslant 1}4^{-n!} &= 0.31274414(\cdots)1337890625\color{Red}{000000000000000000000000}565979\ldots \\ \sum_{n\geqslant 1}8^{-n!} &= 0.140628814(\cdots)625\color{Red}{000000000000000000000000000000000000}42579598\ldots \end{align}$$ donde he omitido $30$ dígitos y $60$ dígitos respectivamente. ¿Es una coincidencia o es que hay una razón más profunda? ¿Por qué son estos números tan bien aproximada?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para el primero, tenga en cuenta que: $$ \begin{align} 2^{-1!} + 2^{-2!} + 2^{-3!} + 2^{-4!} &= 0.765625059604644775390625\color{red}{000000000000}000000\ldots \\ 2^{-5!} &= 0.000000000000000000000000\color{red}{000000000000}752316\ldots \end{align} $$ Así que la razón por la que usted consigue un montón de ceros en este punto es que el $2^{-5!} = 2^{-120}$ es de varios órdenes de magnitud menor que $2^{-4!} = 2^{-24}$. En particular, $2^{-24}$ tiene más de $24$ cero dígitos, lo que significa que todos los dígitos después de la $24$th será cero, mientras que $2^{-120} < 10^{-36}$, lo que significa que el primer $36$ dígitos de $2^{-5!}$$0$. Así que la adición de hasta deja un espacio de $12$ ceros.
Tenga en cuenta que, aunque un poco escondido, esta es no es la primera secuencia de ceros que se aparece por la razón mencionada anteriormente, como la $7$th dígito es un $0$ por la misma razón: que $2^{-3!}$ es mucho mayor que $2^{-4!}$. $$ \begin{align} 2^{-1!} &= 0.500000000000000000000000000000000000000000\ldots \\ 2^{-2!} &= 0.250000000000000000000000000000000000000000\ldots \\ 2^{-3!} &= 0.015625\color{red}{0}00000000000000000000000000000000000\ldots \\ 2^{-4!} &= 0.000000\color{red}{0}59604644775390625\color{red}{000000000000}000000\ldots \\ 2^{-5!} &= 0.000000000000000000000000\color{red}{000000000000}752316\ldots \\ & \vdots \\ \hline \sum_{n \geq 1} 2^{-n!} &= 0.765625\color{red}{0}59604644775390625\color{red}{000000000000}752316\ldots \end{align} $$ Los espacios se hacen más y más grande a medida que se mueven a la derecha. Por ejemplo, a partir de la $121$st dígitos, habrá una gran brecha hasta el $\lceil\log_{10}(2^{6!})\rceil = 216$th dígitos.
La integridad, como se señaló en los comentarios de @Hice, la razón que se obtiene como las brechas en todos es que $2 \mid 10$ (o más precisamente: todos los primos divisores de $2$ brecha $10$), lo que significa que el decimal expansiones de $2^{-k!}$ terminar siempre, es decir, siempre tienen un número finito de no-cero dígitos en su expansión decimal. Y debido a que $n!$ crece ridículamente rápido, a continuación, obtener de largas cadenas de ceros.
Hagen von Eitzen
Puntos
171160
Tenga en cuenta que $2^{-k}=5^k\cdot 10^{-k}$, por lo que es un número con $\approx \log_{10}5^k=k\log_{10}5\approx 0.7k$ cero dígitos y un total de $k$ dígitos. En otras palabras: $2^{-k}$ comienza con $\approx 0.3k$ ceros. Sus exponentes $k=n!$ crecen muy rápido, por lo que tarde o temprano $0.3(n+1)!$ es mucho mayor que $n!$, lo que conduce a grandes bloques de ceros.
