$f, \hat{f} \in L^{p}(\mathbb R) \cap C(\mathbb R) \implies |f(x)| \to 0$ como $|x| \to \infty$ ?

Question

Supongamos que $f, \hat{f} \in L^{p}(\mathbb R) \cap C(\mathbb R)\cap L^{\infty}(\mathbb R), (1<p<\infty).$

Mi pregunta : ¿Podemos esperar $\lim_{|x|\to \infty} |f(x)|=0$ ? (En otras palabras, si $f$ y su transformada de Fourier $\hat{f}$ ambos están en $L^{p} $ espacio y continua , significa que $f$ desaparece en el infinito)

[Observamos que para $p=1,$ el resultado se desprende del lema de Riemann Lebsgue y de la fórmula de inversión].

Editar: Si es necesario, además, asumimos $f$ está en $A(\mathbb T),$ es decir, si nos limitamos a $f$ a un intervalo finito, digamos $[0, 2\pi] \subset \mathbb R,$ entonces $\hat{f} \in \ell^{1}(\mathbb Z),$ es decir, $\sum_{n\in \mathbb Z} |\hat{f}(n)| < \infty.$

Editar de nuevo: Suponemos que $f\in \mathcal{F}L^{1}(\mathbb R)$ significa que $\phi f \in A(\mathbb T)$ para todos $\phi \in C^{\infty}(\mathbb R)$ con $\phi $ se apoya de forma compacta en $[0, 2\pi)$ (o en el caso general cualquier intervalo I de longitud $2\pi$ ). Con esta suposición podemos esperar $|f(x)|\to 0 $ como $|x|\to \infty$ ?

Answer 1

No, esto no sigue. Fijar una función de baches suaves $\varphi$ apoyado en $[-1,1]$ y que $$ f(x) = \sum_{n=1}^\infty \phi(2^n x-n) $$ El $n$ El término se apoya en $[n-2^{-n}, n+2^{-n}]$ Estos soportes son disjuntos. La serie converge en cada $L^p$ espacio. La función $f$ no tiende a cero en el infinito, mediante.

En el lado de Fourier, $$ \hat f(x) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\hat \phi(2^{-n} \xi)e^{i \text{(something)}} $$ (El último término es unimodular, así que no me importa lo que sea). $n$ El término tiene $L^p$ norma $$2^{-np}2^n \|\hat \phi\|_p$$ por lo que la serie converge en cada $L^p$ espacio con $p>1$ . También converge uniformemente, por lo que la suma es continua.

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La función $f$ en este ejemplo es $C^\infty$ y, por tanto, pertenece a cualquier espacio de funciones local razonable que no requiera analiticidad.