Vamos a hablar de los campos de la característica $p$. Cada campo finito $k$ (de esta característica) ha $q=p^r$ elementos, y todos ellos son raíces del polinomio $f_q(X)=X^q-X$, lo que ves no tiene raíces repetidas, por lo que este polinomio se identifica los elementos de $k$. Ahora vamos a aplicar esto a la pregunta de polinomios irreducibles sobre ${\mathbb{F}}_p$. Cada uno de los polinomios $f_q$ factores irreducibles sobre ${\mathbb{F}}_p$, siempre incluyendo a $X$$X-1$, por supuesto, pero si se mira de cerca, verá que todos los irreducibles de grado $r$ $\mathbb{F}_p$ brecha $f_q$. Por el contrario, la irreductible ${\mathbb{F}}_p$-polinomios dividiendo $f_q$ son precisamente los irreducibles de grado dividiendo $r$. Así, por ejemplo, los polinomios irreducibles de grado $4$ sobre el campo con $2$ de los elementos son la cuártica irreducibles dividiendo $X^{16}-X$, cuyo total de la factorización es $X(X+1)(X^2 +X+1)(X^4+X+1)(X^4+X^3+1)(X^4+X^3+X^2+X+1)$.
La generalización de la irreducibles sobre $\mathbb{F}_q$ a la izquierda.
