¿Existe una prueba directa de que $$\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!}=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{x}{n})^n?$$
No sabemos qué son los logaritmos ni las exponenciales.
Aplicación del teorema del Binomio, \begin{equation*} \lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n = \lim_{n\to\infty}1+x+\frac{(n-1)x^2}{2n}+\frac{(n-2)(n-1)x^3}{6n^2}+\frac{(n-3)(n-2)(n-1)x^4}{24n^3}+\frac{(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)x^5}{120n^4}+... \\ =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+... \\ =\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n!}. \end{equation*} Nótese que hemos utilizado la regla de L'Hopital al tomar los límites porque teníamos la forma $\frac{\infty}{\infty}$ .
Si se suman infinitas secuencias, no siempre ocurre que el límite de la suma sea igual a la suma de los límites. Estaría bien una justificación del intercambio.
Tiene que hacer dos cosas: (1) demostrar que $(1+x/n)^n \le \sum x^n/n!$ que es fácil, y (2) $\lim (1+x/n)^n \ge \sum x^n/n!$ que no lo es. Es la idea habitual de dividir una suma en dos partes, una parte agradable y una parte no agradable.
@marty cohon Eso sí se me ocurrió, de la misma manera que demostrar que dos cantidades topológicas son iguales entre sí se hace demostrando que son subconjuntos la una de la otra.
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Lo hay. Es desagradable de teclear, aunque la idea no es muy difícil. Ampliar $(1+x/n)^n$ utilizando el Teorema Binomial.