Variación total de medida complejo es finito

Question

Deje $\mu$ ser un complejo de medir en un espacio medible $(X, \Sigma)$. Deje $|\mu|$ de la variación total de $\mu$, definido por $|\mu|(E) = \sup \left\{ \sum_{j=1}^{\infty} |\mu(E_j)| : \{E_j\}_{j=1}^\infty\text{ is a pairwise disjoint, $\Sigma$-measurable partition of }E \right\}$.

Estoy tratando de mostrar que $|\mu|(X) < \infty$. Sé que este es un resultado común en la mayoría de los textos de teoría de la medida, pero no tengo uno a la mano que se ocupa de las medidas complejas; y estoy teniendo dificultades para llegar con la prueba. Si alguien me pudiera dar una pista para empezar, sería muy apreciado.

EDITAR:

Nota aquí me estoy tomando un complejo de medir a ser un countably aditivo mapa del juego de $\mu: \Sigma \to \mathbb{C}$ y, por tanto,$|\mu(E)| < \infty$, para cada $E \in \Sigma$.

Answer 1

Sugerencia: primero, escriba $\mu$ $\mu_1+i\mu_2$ $\mu_1,\mu_2$ real firmó las medidas y entonces aplicar el teorema de descomposición de Hahn a $\mu_1,\mu_2$.