Construcción de elementos aleatorios en el espacio de Hilbert que son casi seguramente ortogonales.

Question

Dejemos que $(\mathcal{H},\langle \cdot, \cdot \rangle)$ sea un espacio de Hilbert arbitrario. ¿Se pueden construir dos elementos aleatorios independientes e idénticamente distribuidos $X,Y:(\Omega,\mathbb{F},P)\to (\mathcal{H},\langle \cdot, \cdot \rangle)$ con $\text{supp}(X)\not = \{0\}$ , de tal manera que $$ \langle X(\omega),Y(\omega) \rangle =0 $$ para casi todos los $\omega\in\Omega$ es decir $X$ y $Y$ son casi seguramente ortogonales.

Pregunta:

He demostrado que esto no se puede hacer para espacios de Hilbert separables $\mathcal{H}$ pero, ¿es posible hacer una construcción de este tipo en espacios de Hilbert no separables?

Answer 1

Contraejemplo. Este contraejemplo está inspirado en los apuntes de clase de D.J.H. Garling de la década de 1980.

Dejemos que $\kappa$ sea un cardinal medible https://en.wikipedia.org/wiki/Measurable_cardinal que también es un ordinal límite. Por lo tanto, hay un $\{0,1\}$ medida valorada en $\kappa$ en el que cada subconjunto es medible.

Dejemos que $\mathcal H$ sea el espacio de Hilbert cuya base es de cardinalidad $\kappa$ y que $(e_{\alpha})_{\alpha \in \kappa}$ sea una base. Sea $X,Y:\kappa \to \mathcal H$ sean las funciones $X(\alpha) = e_{\alpha}$ y $Y(\alpha) = e_{\alpha'}$ , donde $\alpha'$ denota el ordinal del sucesor de $\alpha$ .

Claramente $\langle X,Y\rangle = 0$ en todas partes. Queda por demostrar que $X$ y $Y$ son independientes. Pero esto se deduce porque dos subconjuntos cualesquiera de $\kappa$ son independientes (ya que sus medidas sólo pueden tomar los valores $0$ o $1$ ).

Sí utiliza cardenales medibles, cuya existencia no se puede demostrar. Pero lo más probable es que si se puede refutar su existencia, entonces probablemente la misma prueba demuestre que ZF es inconsistente.

Answer 2

Dejemos que $\mathcal{A} = \mathbb{R}^{[0,1]}$ sea el conjunto de todas las funciones de $[0,1]$ a $\mathbb R$ , no necesariamente continua, dotada de la medida gaussiana del producto. Sea $\mathcal H$ sea $L^2(\mathcal{A})$ . $\mathcal H$ no es separable.

Dejemos que $x$ se distribuya uniformemente en $[0,1]$ y que $X_x$ sea la función que toma $a \in \mathcal A$ a $a(x)$ . La distribución marginal de cada $X$ es una gaussiana, por lo que $X_x \in \mathcal H$ . Además, $X_x$ es independiente de $X_y$ a menos que $x=y$ , lo que ocurre con probabilidad cero.