Esto no es demasiado difícil de hacer, pero el siguiente método requiere un poco de conocimiento de la cúbico resolvent $h$ de un polinomio de cuarto grado $g$, es decir, que $\operatorname{Gal}(h) \leq \operatorname{Gal}(g)$, y que el discriminantes de $g$ $h$ (esencialmente) coinciden. (Yo puedo ampliar sobre este tema en si sería útil).
Si un polinomio $g$ es irreductible (que es una condición necesaria para $\operatorname{Gal}(g) \cong S_{\deg g}$, y que por lo tanto, de ahora en adelante suponemos), entonces su grupo de Galois actúa transitivamente. La única transitiva subgrupos de $S_4$ (hasta conjugacy) $S_4, A_4, D_8, \Bbb Z_4, \Bbb Z_2 \times \Bbb Z_2$. Usaremos el hecho de que los grupos sólo entre éstos cuyo orden es divisible por $6$$S_4$$A_4$.
Al menos, cuando el personaje de el campo subyacente $\Bbb F$ no $2$, que pueden, por la simplicidad de las siguientes fórmulas hacer un cambio lineal de variables, de modo que $g$ tiene coeficiente cero en su $x^3$ plazo y escribir (después dividiendo por el coeficiente inicial)
$$g(x) = x^4 + p x^2 + q x + r,$$
su resolvent cúbico es
$$h(x) = x^3 - 2 p x^2 + (p^2 - 4 r) x + q^2,$$
y el discriminantes de $g$ $h$ coinciden (quizás hasta un total de cero multiplicativo constante), y se
$$D = 16 p^4 r − 4 p^3 q^2 − 128 p^2 r^2 + 144 p q^2 r − 27 q^4 + 256 r^3.$$
Si $h$ es irreductible y su discriminante $D$ no es un cuadrado, entonces (1) $\operatorname{Gal}(h) \leq G := \operatorname{Gal}(g)$$S_3$, lo $G$ es de orden divisible por $6$ y, por tanto, por el de arriba es $S_4$ o $A_4$, y (2) desde $D$ (el discriminante de $g$) no es un cuadrado, $G \not\leq A_4$ y, por tanto,$G \cong S_4$. Para $g$ $h$ a ser irreductible, deben tener un valor distinto de cero términos constantes y, por tanto,$q, r \neq 0$. Para $p = 0$, las fórmulas para simplificar
$$h(x) = x^3 - 4 r + q^2$$ and $$D = - 27 q^4 + 256 r^3,$$ so to find an example we can search for $q, r$ for which $h$ is irreducible and $D$ is nonsquare. For $\Bbb F = \Bbb P$ the simple choice $q = r = 1$ satisfies these criteria (the first by the Rational Root Test), so, we have for example, that $$\operatorname{Gal}(x^4 + x + 1) \cong S_4 .$$
Ver estas notas para obtener más detalles (utilizando la misma notación). También, tenga en cuenta que este tipo de ejemplos en que, en un sentido que puede ser hecho precisa, la mayoría de los polinomios irreducibles de grado $n$ $\Bbb Q[x]$ tienen grupo de Galois $S_n$.
