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Question

He demostrado que, dada la función, $|\kappa|<1$:

$$f(x)=\sum_{n\geqslant 1} \underbrace{\sin(\kappa \sin (\kappa \sin (\cdots \sin}_n\, \kappa x)\cdots)$$

Se define para todos % real $x$(la serie converge por todas partes). Mi pregunta es, ¿qué tienen el aspecto de la función? No tengo el software para trazarlo, y no puedo descubrirlo en el papel. Lo siento si la pregunta es un poco vaga.

Answer 1

La pregunta por lo que la función se parece. Lamentablemente la respuesta es bastante aburrido. He utilizado Geogebra para graficar los siete primeros términos de la serie, y la suma de los valores de $\kappa$ que son controlados por un regulador. (Añadir más términos no parece cambiar significativamente la apariencia de la gráfica.) Es decir, he trazado $$f_1(x)=\sin(\kappa x)$$ $$f_2(x)=\sin(\kappa f_1(x))$$ $$f_3(x)=\sin(\kappa f_2(x))$$ $$\vdots$$ $$f_7(x)=\sin(\kappa f_6(x))$$ $$g(x)=f_1(x)+f_2(x)+\cdots +f_7(x)$$ El gráfico que se muestra a continuación. La curva azul es la suma; el negro curvas son las condiciones individuales de la serie.

Answer 2

Ya que $\sin(x)$ es aproximadamente $x$ % pequeño $x$, la cola de esta función se comporta mucho como $\sum_{n \ge 1} k^n x = \frac{xk}{1-k}$. Esto por supuesto es un heurístico, pero a menudo ayuda a pensar en $\sin(x)$ de esta manera.