¿Soporte de la mentira es una conexión?

Question

En el Camino a la Realidad, de la sección 14.6 en la Mentira derivados de Penrose escribe:

Ahora $\epsilon^2 [j,h]$ corresponde a un $O(\epsilon^2)$ la brecha en el "paralelogramo", cuyo inicial lados se $e_j$ $e_h$ a el origen I. La correspondiente noción de "paralelismo" viene del grupo la acción, el suministro de la necesaria noción de 'transporte paralelo', lo que en realidad le da una conexión con la torsión, pero no la curvatura.[14.17]

y plantea el ejercicio:

[14.17] Tratar de explicar por qué hay torsión, pero no la curvatura.

Me parece sorprendente que se puede conseguir una conexión sólo de la Mentira de soporte, desde las conexiones dependen de la estructura adicional como el tensor métrico, mientras que la Mentira soportes no.

Un foro tiene una propuesta de respuesta dar a la Mentira de soporte a sí misma como la conexión de $\nabla_{L}M = [L, M]$ si he entendido correctamente. La prueba que se proponen, de forma convincente muestra que habría de torsión y sin curvatura, pero la propuesta de respuesta no parece ser una conexión en el primer lugar desde la multiplicación de los los campos vectoriales $L$ $M$ por un escalar campo $\phi$ no satisface una condición necesaria dado anteriormente en el libro:

• la linealidad en $L$ : $\nabla_{\phi L}M = \phi\nabla_{L}M$

El tratamiento de la veactors como la derivada direccional de operadores escalares campo muestra cómo la linealidad en $L$ falla

$$\begin{align} [\phi L, M](\psi) &= \phi L(M(\psi)) - M(\phi L(\psi)) \\ &= \phi L(M(\psi)) - (M(\phi)L(\psi) + \phi M(L(\psi))) \\ &= \phi[L, M](\psi) - M(\phi)L(\psi) \end{align}$$

debido a la adicional $M(\phi)L(\psi)$ plazo.

También si es posible definir una conexión sólo de la Mentira de soporte, ¿por qué se dice generalmente que usted necesita una estructura adicional para definir transporte paralelo? Es justo que el todo de torsión no de la curvatura de la propiedad deja de esta conexión, de ser útil, para que la gente no lo tenga en cuenta? Entonces, ¿qué es Penrose llegar? Me estoy perdiendo algo?

EDITAR

A partir de las respuestas parece que la Mentira de soporte es realmente una conexión, simplemente no es lineal o afín. El libro no definir formalmente lo que una conexión es en general o especificar el tipo de conexión que se pretende cuando el término se utiliza sin calificación. Sólo le da la derivada de estilo algebraica de las leyes de conexiones una conexión deben satisfacer, incluyendo linealidad wrt $L$ por encima. Así que la Mentira soporte parece ser, no es una conexión en el sentido de que el término que se utiliza en el resto del libro. Eso es lo que yo estaba tratando de averiguar

Todavía estoy curioso por qué es tan frecuente afirmó que las conexiones, transporte paralelo y covariante derivados (que a mi entender son equivalentes los conceptos) requiere más de la estructura de un colector, mientras que la Mentira de los derivados no, si la Mentira de soporte es una conexión que esta conexión es que casi nunca se menciona.

También hay un nombre para la Mentira derivada como una conexión? Mentira conexión??

Answer 1

Te la conexión es, de hecho, $\nabla_LM=[L,M]$ si $L$ es de izquierda invariante; observe que si usted tiene un vector en algún momento de su Mentira de grupo, puede ser el único extendido a una izquierda invariante en el campo de vectores, por lo que la fórmula tiene sentido y define la conexión (btw $\phi L$ no es de izquierda invariante (a menos $\phi$ es constante)).

La torsión es (por la izquierda-inv. vect. campos) $T(K,L)=[K,L]-[L,K]-[K,L]=[K,L]$, por lo que no $0$.

La curvatura, por otro lado, es $R(K,L,M)=[K,[L,M]]+\dots=0$ por la identidad de Jacobi. Otra forma de ver que $R=0$ es que cualquier derechoinvariantes vect. campo de $M$ satisface $\nabla M=0$, como izquierda y derecha-inv. los campos de desplazamiento.

Answer 2

El transporte paralelo de Penrose está hablando es dada por la traducción en el grupo. Más precisamente, el transporte paralelo a $\Gamma(\gamma)^t_s\colon T_{\gamma(s)}G \to T_{\gamma(t)}G$, junto con una curva de $\gamma$ es simplemente el diferencial de la izquierda de la traducción por $\gamma(t)\cdot \gamma(s)^{-1}$.

Podemos recuperar la conexión de la siguiente manera: Vamos a $\gamma$ ser una curva suave, $X = \dot\gamma(0)$, e $V$ un campo de vectores sobre $\gamma$ $$\nabla_X V = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Gamma(\gamma)_t^0 V_{\gamma(t)} \bigg\vert_{t=0}.$$

Ahora es fácil ver que $\nabla_XV = 0$ izquierda invariante en el campo de vectores $V$ $\nabla_XW = [X,W]$ para un campo vectorial invariante $W$. Por otra parte, como este transporte paralelo es independiente de la curva que une dos puntos de $G$, la curvatura de sus asociados conexión debe desaparecer.

Por supuesto, podemos definir el transporte paralelo al derecho de traducción y obtener una segunda conexión en $TG$. Estas dos conexiones de acuerdo si $G$ es conmutativa.