¿Por qué este espacio topológico no es un múltiple topológico?

Question

Estoy teniendo problemas para demostrar que los siguientes no es espacio topológico, colector:

Deje $r:S^1\to S^1$ ser una rotación de $\frac{2\pi}{3}$, yo. e., $r(\cos\theta,\sin\theta)=\left(\cos\theta+\frac{2\pi}{3},\sin\theta+\frac{2\pi}{3}\right)$, de tal manera que $X=B^2/\sim$, donde la partición está dada por $P=\{x\}$ si $|x|\lt1$ $P=\{x,r(x),r^2(x)\}$ si $|x|=1$.

Así que este es mi intento: Vamos a $x\in X$ ser un punto en el límite de $B^2$, el barrio de $x$ $B^2$ es un conjunto abierto $U$$B^2$$r(U)$$r^2 (U)$. Mi estrategia es demostrar que este barrio no es homeomórficos a un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$, alguien me puede ayudar en esta parte?

Gracias

Answer 1

Todos los puntos de $X$ que provienen de $S^1$ 'el mismo aspecto', así que usted podría elegir uno en particular; la elección natural es coger $x=q\big(\langle 1,0\rangle\big)$ donde $q:B^2\to X$ es el cociente mapa. Un conjunto $U\subseteq X$ es una nbhd de $x$ fib $q^{-1}[U]$ es una nbhd de $\left\{\langle 1,0\rangle,\left\langle-\frac12,\frac12\sqrt3\right\rangle,\left\langle-\frac12,-\frac12\sqrt3\right\rangle\right\}$$B^2$. En el dibujo de abajo, los tres puntos rojos muestran $q^{-1}[\{x\}]$, y el azul se muestra lo bastante típico $q^{-1}[U]$ debe ser similar.

$U$ parece más bien un libro con tres páginas: cada uno de los conjuntos de $q[A],q[B]$, e $q[C]$ es una página, y el $q$ se lleva los tres bits de $S^1$ conectado a $A,B$, e $C$ a un único intervalo de homeomórficos a $(0,1)$ que constituye la columna vertebral de este pequeño libro. Si se tratase de dos páginas, que encajaría a la perfección para hacer algo homeomórficos a un disco abierto en el plano, pero hay tres. Por lo tanto, si se elimina la columna vertebral del libro, que está a la izquierda con tres desconectado páginas; la eliminación de un conjunto de homeomórficos a $(0,1)$ a partir de un disco abierto en $\Bbb R^2$ deja en la mayoría de los dos desconectado de las piezas.

Alternativamente, tenga en cuenta que la curva amarilla(s) en la imagen corresponden a una simple curva cerrada en $X$. Sin embargo, esta simple curva cerrada que no dividida $U$ en un interior, que contiene $x$, y un afuera: se puede viajar en $q[C]$ $x$ a un punto en $q[S^1]$ 'fuera' de la curva amarilla y de allí a la parte de $A$, dicen, en el lado opuesto de la curva amarilla de $\langle 1,0\rangle$. Una simple curva cerrada en el plano, sin embargo, no divide el plano en dos regiones; este es el Jordan de la curva de teorema.

Answer 2

En cualquier punto de $x \in \partial B^2$ $X$, la eliminación de la línea segmento $\partial B$ de un barrio pequeño disco (en $X$) sale 3 componentes conectados. Eliminación de un segmento de línea de un disco en $\mathbb{R}^2$ deja sólo 2 componentes conectados.