Función inversa de un polinomio

Question

¿Cuál es la función inversa de $f(x) = x^5 + 2x^3 + x - 1?$ No tengo ni idea de cómo encontrar la inversa de un polinomio, por lo que agradecería enormemente si alguien pudiera mostrarme los pasos para resolver este problema. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Esta es una forma experimental de calcular la inversa.

Podemos tratar el polinomio como una expansión \begin {ecuación} f(x) = -1 + x + 0x^2 + 2x^3 + 0x^4 + x^5 + 0x^6 + 0x^7 + \cdots \end {ecuación} entonces podemos realizar una Reversión de la serie sobre esto para dar la serie inversa (como una expansión infinita) \begin {ecuación} f^{-1}(x) = (1+x) -2(1+x)^3 +11(1+x)^5-80(1+x)^7+665(1+x)^9- \cdots \end {ecuación} a simple vista esto no parece muy útil, pero si buscamos los coeficientes en la OEIS ¡parece que tenemos un éxito! Parece (conjetura) que el coeficiente general es entonces \begin {Edición} a(n) = \binom {5n+1}{n} \frac {(-1)^n}{2n+1} \end {ecuación} y podríamos escribir que \begin {Ecuación} f^{-1}(x) = \sum_ {n=0}^ \infty \binom {5n+1}{n} \frac {(-1)^n}{2n+1}(x+1)^{2n+1} \end {ecuación} si lo evaluamos en Mathematica, da \begin {ecuación} f^{-1}(x)=(1+x)\;_4F_3 \left ( \frac {2}{5}, \frac {3}{5}, \frac {4}{5}, \frac {6}{5} \bigg | \frac {3}{4}, \frac {5}{4}, \frac {6}{4} \bigg |- \frac {5^5}{4^4}(1+x)^2 \right ) \end {Ecuación} una función hipergeométrica generalizada. Si trazamos la composición de estas dos, es decir $f(f^{-1}(x))$ o $f^{-1}(f(x))$ la trama parece indicar \begin {ecuación} f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x \end {ecuación} por supuesto esto no es una prueba, y la evaluación de la función inversa puede volverse numéricamente inestable si $x$ es demasiado grande.

Answer 2

En general, usted dice $y=$ tu polinomio y resuelve para $x$ . Los polinomios de quinto grado no suelen tener solución. La aproximación general para un cuadrático sería esencialmente la fórmula cuadrática. Dado $y=ax^2+bx+c$ , se encuentra $x=\frac {-b \pm \sqrt{b^2-4a(c-y)}}{2a}$ . Tienes que elegir un signo para obtener una función.

Answer 3

interruptor $f(x)$ $x$ $x= y^5 + 2y^3 +y-1$ de conseguir y resolver $y$.

Answer 4

Como otros indicaron, no existe una fórmula algebraica para la función inversa $f^{-1}$ . Las funciones inversas existen (ya que $f$ es creciente), pero hay serios obstáculos algebraicos para resolver $y=x^5 + 2x^3 + x - 1$ para $x$ .

Pero podemos encontrar valores particulares de $f^{-1}$ y de su derivado. Por ejemplo, para encontrar $f^{-1}(3)$ sólo tendríamos que señalar que $f(1)=3$ . Por lo tanto, $f^{-1}(3)=1$ . (El número $3$ tiene suerte aquí; si se le pregunta por $f^{-1}(4)$ se necesitaría un método numérico, por ejemplo, una calculadora).

También se puede utilizar el teorema de la función inversa para encontrar la derivada de $f^{-1}$ en $3$ : $$ (f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5+6+1} = \frac{1}{12} $$

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Pregunta relacionada .

Answer 5

Tienes que resolver la ecuación

$$x^5 + 2x^3 + x - 1=y$$ para $x$ . Desgraciadamente, se sabe que tales ecuaciones quínticas no tienen una solución de forma cerrada en general, y ésta no escapa a la regla.

De todos modos, hay una pequeña puerta trasera, ya que un quíntico puede ser (después de un doloroso cálculo) reducido a la forma conocida como Traer Forma Quíntica

$$x^5-x-a=0.$$

Bajo esta forma particular, las soluciones de $x$ en términos de $a$ se llaman los radicales Bring de $a$ . Así que si acepta esta función especial univariante en su caja de herramientas, entonces puede invertir los polinomios quínticos.

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Los casos de polinomios lineales, cuadráticos, cúbicos y cuárticos se pueden resolver con las funciones habituales, con dificultad creciente.