Se $(\mathbb{R},+)$ $(\mathbb{C},+)$ isomorfo como aditivo grupos?

Question

Se $(\mathbb{R},+)$ $(\mathbb{C},+)$ isomorfo como aditivo grupos?

Sé que hay un bijection entre el$\mathbb{R}$$\mathbb{C}$, y esta pregunta indaga si son isomorfos como abelian grupos, se refieren a la aditivo abelian grupo? Si es así ¿hay alguna simple isomorfismo puedo encontrar? Yo no sé nada acerca de Hamel. Gracias.

Answer 1

Suponiendo que el axioma de elección, sí.

Ten en cuenta que estos abelian grupos son en realidad $\mathbb Q$-espacios vectoriales, y tienen la misma dimensión, por lo que debe ser isomorfo como espacios vectoriales, y tal isomorfismo es también un grupo de isomorfismo. Este es de hecho un requisito más fuerte que apenas grupo de isomorfismo, pero no importa que.

Esto es consistente con el fracaso del axioma de elección que estos dos no son isomorfos, aunque. Así que uno no puede dar una explícita isomorfismo entre ellos.