Derivación de la fórmula de enrollamiento en coordenadas cartesianas.

Question

Mediante el cálculo de la circulación por el área de un campo de vectores

$$F(x,y,z) = F_x(x,y,z)\vec{x} + F_y(x,y,z)\vec{y} + F_z(x,y,z)\vec{z}$$

en un pequeño rectángulo alrededor de $(x_0, y_0, z_0)$ $xy$ plano, puede ser demostrado que el límite de los lados del rectángulo enfoque de cero es

$$\left(\frac{\partial F_y(x_0, y_0, z_0)}{\partial x} - \frac{\partial F_x(x_0, y_0, z_0)}{\partial y}\right)$$

El mismo cálculo sin embargo no es tan sencillo si el rectángulo no se encuentran en el $xy$, $yz$, o $xz$ aviones. Ahora si $\vec{n}$ es la normal del plano, pensé que al realizar un cambio de base tal que $\vec{n} \rightarrow \vec{z'} $ y siguiendo los cálculos anteriores se podía demostrar que el límite de la circulación por la zona es

$$ \left(\frac{\partial F_{y'}(x'_0, y'_0, z'_0)}{\partial x'} - \frac{\partial F_{x'}(x_0, y_0, z_0)}{\partial y'}\right) $$

Este es también el producto interior de la curvatura del campo de vectores y el normal $\vec{n}$

Como tales, los dos deben ser iguales:

$$\left(\frac{\partial F_{y'}(x'_0, y'_0, z'_0)}{\partial x} - \frac{\partial F_{x'}(x'_0, y'_0, z'_0)}{\partial y'}\right) = \\ \left[\left(\frac{\partial F_z(x_0, y_0, z_0)}{\partial y} - \frac{\partial F_y(x_0, y_0, z_0)}{\partial z} \right)\vec{x} + \left(\frac{\partial F_z(x_0, y_0, z_0)}{\partial x} - \frac{\partial F_x(x_0, y_0, z_0)}{\partial z} \right)\vec{y} + \left(\frac{\partial F_y(x_0, y_0, z_0)}{\partial x} - \frac{\partial F_x(x_0, y_0, z_0)}{\partial y} \right)\vec{z}\right] \cdot \vec{n} $$ He estado tratando de demostrar el por encima de la igualdad por algún tiempo, sin éxito, específicamente no estoy seguro de cómo manejar las transformaciones correctamente. Cualquier ayuda con esto es muy apreciado!

Answer 1

Un enfoque más sencillo es a través de la integral de teoremas. Como se indica en la pregunta, los casos especiales de un rectángulo en el $xy$ , $yz$ , $zx$ los aviones son bien entendidos. De acuerdo con el Verde del teorema: $$ \begin{cases} \iint_{xy} \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) dx\, dy = \oint_{xy} \left( F_x\, dx + F_y\, dy \right) \\ \iint_{yz} \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) dy\, dz = \oint_{xy} \left( F_y\, dy + F_z\, dz \right) \\ \iint_{zx} \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) dz\, dx = \oint_{xy} \left( F_z\, dz + F_x\, dx \right) \end{casos} $$ Pero en lugar de rectángulos, tomamos la mitad de los rectángulos, o mejor: los triángulos $OAB$ , $OBC$ , $OAC$ respectivamente:

Gracias a Green teorema podemos reemplazar el área de las integrales de línea-integrales; la mente que están en contra de las manecillas. Entonces es claro que, independientemente de cualquier otra de contenido: $$ \oint_{OAB} + \oint_{OBC} + \oint_{OAC} + \oint_{ABC} = 0 $$ Suponiendo que el operador de la pudrición(ación) no está definido pero en general, esto significa que ahora tenemos una expresión: $$ 2 \iint_{ABC} \vec{\operatorname{rot}}(\vec{F}) \cdot \vec{n}\, dA = \\ - \iint_{xy} \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) dx\, dy - \iint_{yz} \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) dy\, dz - \iint_{zx} \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) dz\, dx $$ Continuando con infinitesimal volúmenes / áreas y mover de un tirón encima de lo normal en el lado derecho, de modo que se conviertan los componentes de la normal en el lado izquierdo: $$ \vec{\operatorname{rot}}(\vec{F}) \cdot \vec{n}\, \Delta = \\ \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\cdot n_x\, \Delta + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\cdot n_y\, \Delta + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\cdot n_z\, \Delta $$ Dejando fuera a los infinitesimal de área $\,\Delta A\,$ nos da la misma respuesta que se encuentran por el OP sí mismos.
Un poco más prolijo enfoque es calcular los valores de la media y deje que el área de la (rojo) del triángulo de ir a cero: $$ \vec{\operatorname{rot}}(\vec{F}) \cdot \vec{n} = \lim_{ABC \to 0} \frac{\iint_{ABC} \vec{\operatorname{rot}}(\vec{F}) \cdot \vec{n}\, dA}{\iint_{ABC} dA} $$ Nota. Me he encontrado con esencialmente el mismo método en varios lugares, en otras partes de la física (Creo que es con el estrés y la tensión). Aanyway, un tema relacionado es : ¿Qué cortante decir?

Answer 2

Empezamos por la aplicación de una rotación alrededor de los ejes x y y

$$ \left(\begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right) $$

Esta gira la superficie por lo que es normal en el punto requerido, señala hacia arriba. Esto significa,

$$\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right) \cdot \vec{n} $$

y mediante la inversión de la propiedad de rotación de matrices,

$$ \vec{n} = \left(\begin{array}{ccc} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} g \\ h \\ i \end{array}\right) $$

Observe que el normal $\vec{n}$ es la última fila de nuestra matriz de rotación. Desde la primera y segunda fila son también vectores unitarios ortogonales a $\vec{n}$,

$$n_x = \left|\begin{array}{cc}b & c \\ e & f \end{array}\right|, n_y = \left|\begin{array}{cc}d & f \\ a & c \end{array}\right|, n_z = \left|\begin{array}{cc}a & b \\ d & e \end{array}\right|$$ También queremos rotar nuestro campo de vectores de manera adecuada: $$ \left(\begin{array}{c} F_{x'}(P') \\ F_{y'}(P') \\ F_{z'}(P') \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} F_x(P) \\ F_y(P) \\ F_z(P)\end{array}\right) $$

Finalmente, $$\begin{gather}\frac{\partial F_{y'}}{\partial x'} - \frac{\partial F_{x'}}{\partial y'} \end{reunir} = \\ \left|\begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x'} & \frac{\partial}{\partial y'} \\ F_{x'} & F_{y'} \end{array}\right| = \\ \left|\begin{array}{ccc} a\frac{\partial}{\partial x} + b\frac{\partial}{\partial y} + c\frac{\partial}{\partial z} & d\frac{\partial}{\partial x} + e\frac{\partial}{\partial y} + f\frac{\partial}{\partial z} \\ aF_{x} + bF_{y} + cF_{z} & dF_{x} + eF_{y} + fF_{z} \end{array}\right| = \\ \left| \begin{array}{cc} a\frac{\partial}{\partial x} & e\frac{\partial}{\partial y} \\ aF_x & eF_y\end{array}\right| + \left| \begin{array}{cc} a\frac{\partial}{\partial x} & f\frac{\partial}{\partial z} \\ aF_x & fF_z\end{array}\right| + \left| \begin{array}{cc} b\frac{\partial}{\partial y} & d\frac{\partial}{\partial x} \\ bF_y & dF_x\end{array}\right| + \\ \left| \begin{array}{cc} b\frac{\partial}{\partial y} & f\frac{\partial}{\partial z} \\ bF_y & fF_z\end{array}\right| + \left| \begin{array}{cc} c\frac{\partial}{\partial z} & d\frac{\partial}{\partial x} \\ cF_z & dF_x\end{array}\right| + \left| \begin{array}{cc} c\frac{\partial}{\partial z} & e\frac{\partial}{\partial y} \\ cF_z & eF_y\end{array}\right| = \\ (bf-ce)\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_y & F_z \end{array}\right| + (af-cd)\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_z \end{array}\right| + (ae-bd)\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ F_x & F_y \end{array}\right| = \\ \left|\begin{array}{cc}b & c \\ e & f \end{array}\right|\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_y & F_z \end{array}\right| - \left|\begin{array}{cc}d & f \\ a & c \end{array}\right|\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_z \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}a & b \\ d & e \end{array}\right|\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ F_x & F_y \end{array}\right| = \\ n_x\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_y & F_z \end{array}\right| - n_y\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_z \end{array}\right| + n_z\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ F_x & F_y \end{array}\right| = \\ \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{array}\right| \cdot \vec{n}$$