Una identidad de los números de Tribonacci para los cuádruples pitagóricos $a^2+b^2+c^2 =d^2$ ?

Question

Tenemos la conocida identidad de Fibonacci para Triples pitagóricos ,

$$(F_n F_{n+3})^2+(2F_{n+1}F_{n+2})^2 = (F_{2n+3})^2$$

y para los números de Lucas,

$$(L_n L_{n+3})^2+(2L_{n+1}L_{n+2})^2 = (L_{2n+2}+L_{2n+4})^2 = (5F_{2n+3})^2$$

Pero dada la números de tribonacci ,

$$T_n = 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136,\dots$$

en el que fijamos $T_0 = 0,\; T_1 = 1$ etc, parece que obedecen al análogo Cuádruples pitagóricos ,

$$(-T_{n+3}^2+T_{2n+3}+T_{2n+4})^2+(2\,T_n\,T_{n+1})^2+(2\,T_n\,T_{n+2})^2 = (T_{n-1}^2+\,T_{2n+1}+T_{2n+2})^2$$

Algunas preguntas:

1. Esta relación se descubrió empíricamente y es válida para $n$ hasta los cientos, pero sería bueno conocer una prueba de que es cierto para todos $n$ .
2. Cualquier análogo de tribonacci para potencias superiores, como ( eq.30 ) $F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3 = F_{3n}$ ?

Answer 1

Una subsecuencia "aritmética" de una secuencia lineal recurrente es de nuevo una secuencia lineal recurrente, del mismo orden.

Un producto de secuencias lineales recurrentes (de orden $a$ y $b$ ) es de nuevo una secuencia lineal recurrente, de orden a lo sumo $ab$ .

Una suma de secuencias lineales recurrentes (de orden $a$ y $b$ ) es de nuevo una secuencia lineal recurrente, de orden a lo sumo $a+b$ .

Por lo tanto, la diferencia $(-T_{n+3}^2+T_{2n+3}+T_{2n+4})^2+(2\,T_n\,T_{n+1})^2+(2\,T_n\,T_{n+2})^2 - (T_{n-1}^2+\,T_{2n+1}+T_{2n+2})^2$ es una secuencia lineal recurrente, de orden como máximo $702$ . Por lo tanto, para demostrar que se trata de la secuencia cero, basta con calcular la primera $702$ valores.

Puede reducir el pedido (porque $T_{1400}$ no es realmente un número pequeño, ¿verdad?) llevando la cuenta en cada paso de las raíces del polinomio característico de la recurrencia.

Answer 2

En cuanto a Pregunta 2 después de una sesión con Mathematica resulta que la identidad de Fibonacci,

$$-F_{n-1}^3+\color{brown}{F_n^3}+F_{n+1}^3 = F_{3n}$$

tiene un análogo de Tribonacci para las terceras potencias (y superiores), aunque son más complicadas. El Fibonacci sólo utiliza tres sumandos, mientras que el Tribonacci tiene doce añade,

$$\sum_{m=-7}^4 c_m\, T_{n+m}^3= T_{3n}$$

y el $c_m$ son constantes. Explícitamente,

$$a + 30\, \color{brown}{T_n^3} + b = 412\, T_{3n}$$

donde,

$$\begin{aligned} a &= 6\,T_{n-7}^3+11\,T_{n-6}^3+18\,T_{n-5}^3-48\,T_{n-4}^3-24\,T_{n-3}^3-16\,T_{n-2}^3+24\,T_{n-1}^3\\[2.5mm] b &=-10\, T_{n+1}^3+5\, T_{n+2}^3+2\, T_{n+3}^3+2\,T_{n+4}^3 \end{aligned}$$

Por ejemplo, dejemos que $n=8$ y $T_8 = 44$ Entonces,

$$6(1^3)+11(1^3)+ 18(2^3) -48(4^3) -24(7^3) -16(13^3)+ 24(24^3)+ 30(44^3) -10(81^3) +5(149^3)+ 2(274^3)+ 2(504^3) = 412\,T_{24} = 412(755476)$$

aunque es válido para todos los enteros $n\geq 7$ .

Answer 3

Esta es otra forma de expresar

$x^2+y^2+z^2=g^2$

x=a+pk
y=b+pk
z=c+pk
g=a+b+c+2pk

y

$a == (-2 b c - 2 b pk - 2 c pk - pk^2) / (2 (b + c + pk))$

Es útil porque

a=g-z-y
b=g-z-x
c=z-x-y
pk=x+y+z-g

Así que puedes mapear tu ecuación en esto que es una prueba general.

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2 ecuaciones más útiles que satisfacen $x^2+y^2+z^2=g^2$ La ecuación que explota la reversibilidad de las ecuaciones de 2º orden como ésta es ligeramente diferente, por lo que estoy utilizando aa en lugar de a y k en lugar de pk, etc. para evitar confusiones

$2k=x_2+y_2+z_2-g_2$

$x_2 = aa + k$
$y_2 = bb + k$
$z_2 = cc + k$
$g_2 = aa + bb + cc + k$

$aa = (-bb cc + k^2)/(bb + cc)$

$x_3 = k-aa$
$y_3 = k-bb$
$z_3 = k-cc$
$g_3 = k-aa-bb-cc$

así que usando tus ecuaciones originales
$x_2$ = $((T_n_+_3)^2+(T_n_+_3)+(T_n_+_4))$

$y_2$ = $2(T_n)(T_n_+_1)$

$z_2$ = $2(T_n)(T_n_+_2)$

$g_2$ = $(T_n__1)^2+(T_2_n_+_1)+(T_2_n_+_2)$

entonces $2k=x_2+y_2+z_2-g_2$

$aa = k + g_2 - z_2 - y_2$
$bb = k + g_2 - z_2 - x_2$
$cc = k + g_2 - x_2 - y_2$

Entonces demuestre que cumple la condición

$aa = (-bb cc + k^2)/(bb + cc)$

que demostrará que ambas ecuaciones son verdaderas y una de ellas será exactamente tu ecuación de partida y la otra será diferente y posiblemente trivial. Si puedes demostrar que tu ecuación cumple la condición para todo n entonces has terminado.

Si no puedes hay una segunda posibilidad de demostrar que tu ecuación es verdadera para un n específico y que la 2ª ecuación es tu ecuación para un valor n+t y como tal tu única instancia demuestra una 2ª respuesta única que demuestra una 3ª, etc. Tendrás que tratar de evitar las soluciones triviales si vas por ese camino. Esto podría demostrar infinitas soluciones pero no necesariamente daría TODAS las soluciones.

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Si mapeas tu ecuación en $x_3,y_3,z_3,g_3$ en lugar de $x_2,y_2,z_2,g_2$ debes evitar todas las soluciones triviales porque estás ascendiendo en valor y nunca llegarás a cero.

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Para replantear simplemente usando valores ascendentes que necesitas para la prueba inductiva.

Su declaración $a^2+b^2+c^2=d^2$ como lo hizo en los números de Tribonacci depende de

$a_2^2+b_2^2+c_2^2=d_2^2$

Formado por el valor absoluto de sus números originales de Tribonnaci EDITADO para corregir un error matemático: Corregido a -a+2k, -b+2k, -c+2k, -d+2k
$a_2= - b - c + d$
$b_2= - a - c + d$
$c_2= - a - b + d$
$d_2= a + b + c - 2 d$

También se expresa exclusivamente en números de Tribonacci

Si puedes demostrar que aumentando el valor de n en 1 se obtienen los mismos valores, entonces es una prueba completa de tu conjetura.

Es posible que esto sea un enunciado más y no te sirva de nada pero es una forma de generar un número infinito de ecuaciones de las cuales cualquiera puede demostrar tu enunciado siempre que puedas expresarlo con tu ecuación original con n aumentado en 1.