Poincare dual de unidad de círculo

Question

Estoy tratando de auto-estudio Diferencial de las Formas en Topología Algebraica por Bott y Tu. Me he encontrado con este ejercicio:

Muestran que el cerrado de Poincaré dual de la unidad de círculo en $ R^2-\{0 \} $ es cero, pero el pacto de Poincaré dual es la trivial generador de $ \rho(r)dr$ $ H_c^1(R^2- \{0 \}) $ donde $ \rho(r) $ es un bulto con la función integral de la $ 1 $.

Traté de mostrar la primera parte dejando $\omega=f(r,\theta)dr+g(r,\theta)d\theta$ y el uso de la inclusión de la unidad de círculo en $R^2-\{0\}$: $ i(\theta)=(1,\theta)$. Llegué $$\int_{S}i^{*}\omega=\int_0^{2\pi}(f(1,\theta)d(1)+g(1,\theta)d\theta)=\int_{0}^{2\pi} g(1,\theta)d\theta$$

Si $g$ es una protuberancia de la función con el valor de $1$ sobre el círculo unitario y compacto, el apoyo, la integral es cero. Debo estar cometiendo un error. ¿Qué es? ¿Cómo puedo resolver el ejercicio?

Gracias

Answer 1

EDIT 2: Oh, creo que finalmente he entendido de tu razonamiento. Se argumentó de la siguiente manera: suponga $\eta_S$ se desvanece. Entonces la integral también tiene que siempre se desvanecen. Pero para su $\omega$ no lo hace. El problema con este razonamiento es que su $\omega$ no viene de ninguna clase en $H^1_c({\bf R^2 - \{0\}})$. Es decir, es imposible extender $\omega$ a todo el plano de tal manera que ambas estancias de forma compacta compatible y será cerrado. Espero que esto aclare la confusión.

Para realmente resolver el ejercicio, a continuación, tiene que argumentar de la siguiente manera: tome cerrado 1 formulario a- $\omega$ con tamaño compacto y muestran que la correspondiente integral se desvanece. De hecho, ya sabemos cómo la cohomology grupo parece (es generado por el formulario mencionado en la segunda parte del ejercicio), es suficiente para demostrar que para ese formulario. Y no es obvio, ya que el formulario no tiene ningún tipo de $d \theta$ parte (esto es, básicamente, el original de la explicación que me dio antes de las ediciones).

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EDIT: UN compacto de Poincaré dual de una $k$-dim submanifold $S$ $(n-k)$- forma con soporte compacto $\eta_S$ tal que $$\int_S i^* \omega = \int_M \omega \wedge \eta_S$$ es válido para cada $\omega \in H^k(M)$. En particular, si sustituimos una 1-forma $\omega = \eta_S$ en la ecuación obtendremos $0$. Creo que esto es lo que están tratando de hacer, y la razón por la que usted no está recibiendo el cero es porque no enchufe $\eta_S$ en allí, pero algunos al azar formulario de $\omega$. El hecho de que contiene un bache forma es irrelevante. No cada bache forma es una de Poincaré doble!

La misma discusión se aplica para el cerrado de Poincaré doble, sólo que no siempre será posible conectar $\eta_S$ en la ecuación, porque sólo es necesario mantener para $\omega \in H^{k}_c(M)$ $\eta_S$ podría ser no-compacto.

Espero que tenga algún sentido. En caso de que no estoy consiguiendo lo que estaban tratando de hacer, publicar un comentario nuevo.

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Creo que se mezclaron las dos partes del ejercicio. En la primera parte, hay que tener en cuenta genérica 1-forma. En el segundo, la protuberancia 1-forma. Pero en su derivación de haber conectado la protuberancia 1-forma en lugar de la genérica.

Permítanme tratar de ofrecer alguna explicación. La protuberancia 1-formulario de curso cerrado desde $$d \left( \rho(r) dr \right) = \partial_r \rho(r) dr \wedge dr = 0.$$ En el estándar cohomology, también es exacto porque $$ \rho(r) dr = d\sigma(r)$$ donde $\sigma(r) = \int_0^r \rho(s) ds$ es un buen paso de la función que se desvanece cerca del origen y es igual a $1$ fuera de algunos compacto. Por lo tanto, la no-compacto de Poincaré dual es cero. Pero $\sigma(r)$ no tiene soporte compacto y por lo tanto $\rho(r) dr$ no es exacta, por lo que representa un no-trivial elemento de la cohomology con compact es compatible.