La respuesta a tu primera pregunta es sí. En particular, si $L/K$ tiene el grado $m$ $L$ es isomorfo a un subcuerpo de $M_{m \times m}(K)$. Esto puede ser visto a través de la (a la izquierda) regular la representación de la siguiente manera.
Cada una de las $\alpha \in L$ da lugar a un (a la izquierda) multiplicación mapa $\lambda_\alpha : L \to L$, $x \mapsto \alpha x$ que es $K$-lineal. La elección de una base de $L$ $K$- espacio vectorial nos permite escribir una representación de la matriz de $\lambda_\alpha$ con respecto a esta base. Por ejemplo, en su ejemplo, $\mathbb{C}$ base $\{1, i\}$ $\mathbb{R}$- espacio vectorial. Dado $\alpha = a + ib \in \mathbb{C}$, luego
\begin{align*}
\lambda_\alpha(1) &= \alpha = a + ib\\
\lambda_\alpha(i) &= \alpha \cdot i = (a + ib)i = -b + ia
\end{align*}
de modo que la representación de la matriz de $\lambda_\alpha$ con respecto a esta base es $\begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}$.
He aquí una respuesta parcial a su segunda pregunta. Supongamos $L/K$ tiene un elemento primitivo, por lo $L = K(\beta)$ algunos $\beta \in L$. (Esto es cierto, por ejemplo, si $L/K$ es un separables de extensión.) Deje $n$ ser el mínimo entero positivo tal que $L$ incrusta en $M_{n \times n}(K)$; denotar esta incrustación por $\iota : L \to M_{n \times n}(K)$. Uno puede mostrar que $\beta$ satisface el polinomio característico $f$$\iota(\beta)$, que tiene un grado $n$. Desde $\beta$ genera la extensión de $L/K$$[L:K] = m$, entonces el polinomio mínimo $g$ $\beta$ $K$ tiene el grado $m$. Desde $\beta$ también es una raíz de $f$,$g \mid f$, lo $m \leq n$. Por lo tanto $m=n$.
No sé la respuesta a tu segunda pregunta en general. Tal vez alguien con más antecedentes en la teoría de la representación tendrá una respuesta.
