Determinación de la derivación de un determinante

Question

Deje $\Phi\colon E\to M$ $E\subset \mathbb{R}\times M$ $M\subset\mathbb{R}^n$ abierto. Considere la función dada por $x\mapsto \Phi(t,x)$ fijos $t\in\mathbb{R}$. (1)Determinar $$ \frac{\partial}{\partial t}\text{det}D_x\Phi(t,x), $$ wherat $D_x\Phi(t,x)$ es la matriz de Jacobi de la función dada por $x\mapsto\Phi(t,x)$ fijos $t\in\mathbb{R}$. (2) Calcular el $\frac{\partial}{\partial t}\text{det}D_x\Phi(0,x)$ si $D_x\Phi(0,x)=I_n$ $\frac{\partial}{\partial t}\Phi(t,x)=f(x)$ todos los $x\in M$, con lo cual $f\colon M\to\mathbb{R}^n$ es cualquier función.

Hola!

(1) Primero de todo es $$ D_x\Phi(t,x)=\begin{pmatrix}\frac{\partial\Phi_1(t,x)}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial\Phi_1(t,x)}{\partial x_n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\\frac{\partial\Phi_n(t,x)}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial\Phi_n(t,x)}{\partial x_n} \end{pmatrix} $$ así que tengo que determinar $$ \frac{\partial}{\partial t}\text{det}\begin{pmatrix}\frac{\partial\Phi_1(t,x)}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial\Phi_1(t,x)}{\partial x_n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\\frac{\partial\Phi_n(t,x)}{\partial x_1} & \ldots & \frac{\partial\Phi_n(t,x)}{\partial x_n} \end{pmatrix} $$ Este es el mismo como la determinación de $$ \frac{\partial}{\partial t}\text{det}(\text{grad}\Phi_1(t,x),\ldots,\text{grad}\Phi_n(t,x)). $$ A mi conocimiento ahora es $$ \frac{\partial}{\partial t}\text{det}(\text{grad}\Phi_1(t,x),\ldots,\text{grad}\Phi_n(t,x))=\sum_{j=1}^{n}\text{det}(\text{grad}\Phi_1(t,x),\ldots,\frac{\partial}{\partial t}\text{grad}\Phi_j(t,x),\ldots,\text{grad}\Phi_n(t,x)). $$ Así que, yo creo que con $\frac{\partial}{\partial t}\text{grad}\Phi_j(t,x)$ es decir $$ \left(\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial\Phi_j(t,x)}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial\Phi_j(t,x)}{\partial x_n}\right)^T $$ y porque de Schwartz creo que es $$ \left(\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial\Phi_j(t,x)}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial\Phi_j(t,x)}{\partial x_n}\right)^T=\left(\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{\partial\Phi_j(t,x)}{\partial t},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}\frac{\partial\Phi_j(t,x)}{\partial t}\right)^T\\ =\text{grad}\frac{\partial}{\partial t}\Phi_j(t,x). $$ Así que lo que se busca en mi opinión es $$ \sum_{j=1}^{n}\text{det}(\text{grad}\Phi_1(t,x),\ldots,\text{grad}\frac{\partial}{\partial t}\Phi_j(t,x),\ldots,\text{grad}\Phi_n(t,x)) $$

(2)

Es $\text{grad}\frac{\partial}{\partial t}\Phi_j(t,x)=\text{grad}f_j(x)$. El j-ésimo sumando está dada por $$ \text{det}(e_1,e_2,\ldots,e_{j-1},\text{grad}f_j(x),e_{j+1},\ldots,e_n) $$ con $e_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)^T$ con el 1 en la i-ésima posición.

Este determinante se puede calcular haciendo un triángulo de la matriz fuera de él. Así que este determinante es $\frac{\partial}{\partial x_j}f_j(x)$.

Por lo que es $$ \frac{\partial}{\partial t}D_x\Phi(t,x)=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial}{\partial x_j}f_j(x)=\text{div}f. $$

Así que son mis resultados de (1) y (2).

Realmente me gustaría saber si estoy en lo cierto. Sería genial! Ciao!

Con los saludos y saludos!

El tuyo math12

Answer 1

Sus cálculos son correctos, el tiempo derivativo es aplicada como en la fórmula del producto, desde el detonante es multilineal en sus filas resp. columnas.

El siguiente paso es asumir que el Jacobiano es regular en el punto de derivación. A continuación, puede escribir $$ \frac{∂}{∂t} \operatorname{grad}\, \Phi_j(t,x)=\sum_{k=1}^n a_{jk} \operatorname{grad} \Phi_k(t,x) $$ así que $$ \det(\operatorname{grad}\,Φ_1(t,x),...,\frac∂{∂t}\operatorname{grad}\,Φ_j(t,x),...,\operatorname{grad}\,Φ_n(t,x))=a_{jj}\det(D_xΦ) $$

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En general, se sostiene por la matriz de funciones con valores que $$ \tfrac{d}{dt}\det(A(t))=tr\left(A(t)^{-1}\tfrac{d}{dt}A(t)\right)\det(A(t))=tr\left(A(t)^{\#}\tfrac{d}{dt}A(t)\right) $$ con $A^\#$ la adjunta/adjuntos de la matriz de $A$.

Answer 2

El determinante de una $n \times n$ matriz $A(t)$ puede ser definida como $$\det A = \sum_{S_n} \epsilon_{i_1,\cdots, i_n} a_{1,i_1} a_{2,i_2} \cdots a_{n,i_n}$$ donde la suma es sobre todas las permutaciones $(i_1 \; i_2 \; \cdots \; i_n)$ $\{1, 2, \dots , n\}$ y el plazo $\epsilon_{i_1,\cdots, i_n}$ es la de Levi-Civita símbolo que toma los valores de $0, \pm 1$ en algunos complicados de la moda. $S_n$ representa todas las permutaciones del conjunto que nos interesa. Calmarse y dejar que este disipador para un poco. No trate de entender realmente, sólo recuerda el formulario. Eso es todo lo que importa para nuestros propósitos.

La próxima retirada del producto de la regla de $$(b_1 \cdots b_n)' = \sum_{k=1}^n b_1 \cdots b_k' \cdots b_n.$$

A continuación, utilice esto en la expresión para el factor determinante: $$\frac{d}{dt}\det A = \sum_{S_n} \sum_{k=1}^n \epsilon_{i_1,\cdots, i_n} a_{1,i_1} \cdots a_{k,i_k}' \cdots a_{n,i_n} $$

Intercambiar las sumas: $$\frac{d}{dt}\det A = \sum_{k=1}^n \sum_{S_n} \epsilon_{i_1,\cdots, i_n} a_{1,i_1} \cdots a_{k,i_k}' \cdots a_{n,i_n} $$

Pero lo que es el interior de la suma? Es el determinante de la matriz$A$, pero con $a_{k,i}$ reemplazados con $a_{k,i}'$ fijos $k$$i=1,2,\dots, n$. Es decir, tomamos la derivada de cada entrada en el $k$th fila. Si dejamos $A_k$ ser la matriz con la $k$th fila cambiado de esta manera, entonces

$$\det A = \sum_{k=1}^n \det A_k.$$