¿Cuál es la intuición para extender$\mathbb{C}$ to$\mathbb{H}$?

Question

A mí me parece que hay una clara e intuitiva razón para extender el sistema numérico real del número complejo sistema. Es decir, algunas ecuaciones polinómicas que no tienen soluciones en $\mathbb{R}$ se vuelven solubles en $\mathbb{C}$. Cuando hacemos esto, perdemos casi ninguna de las propiedades algebraicas de los reales, y recoger algunas buenas nuevas en el camino (por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra).

Sin embargo, no puedo ver esa razón intuitiva del mismo se extiende $\mathbb{C}$$\mathbb{H}$, otros de "porque podemos". Al hacerlo, se pierde la importante propiedad conmutativa de la multiplicación. Así, precisamente, ¿qué problemas podemos resolver mediante el movimiento de$\mathbb{C}$$\mathbb{H}$?

Por supuesto soy consciente de los cuaterniones' numerosas aplicaciones a la geometría 3D; lo que me interesa realmente aquí están las analíticas de propiedades que proporcionan. ¿Quaternionic análisis de ofrecer resultados comparables a los de los análisis complejo?

Answer 1

Supongo que se está refiriendo únicamente a la resolución de las ecuaciones (en lugar de las aplicaciones de los cuaterniones, como la elaboración de modelos 3D de vectores), en cuyo caso no hay realmente mucho sentido en la ampliación de $\mathbb{C}$$\mathbb{H}$; en cuanto a la solución de ecuaciones polinómicas, es en realidad superflua para resolver en $\mathbb{H}$. por ejemplo, $w^2=-1$ tiene dos soluciones en $\mathbb{C}$, pero infinitamente muchos en $\mathbb{H}$. También, algunos (no polinomio) las ecuaciones no pueden ser resueltas en $\mathbb{C},$, pero puede ser resuelto en $\mathbb{H}$- tome, por ejemplo, $(xi-ix)^2=-1.$ En $\mathbb{C}$, $xi=ix$, así que usted consigue $0=-1$, lo que claramente no tiene solución, pero en $\mathbb{H},$ usando el hecho de que $xi \neq ix,$ que puede, de hecho, resolver esto. Así, mientras que implican una falta de conmutatividad es una cosa mala, vemos que, en este caso, es necesario con el fin de resolver esta ecuación.

Otro ejemplo, con respecto a la asociatividad este momento es: $(xi)y-x(iy)=1$. Tenga en cuenta que, en $\mathbb{H}$ (y cualquier subconjuntos therof), no hay ningún soluciones de esta ecuación; terminamos con $0=1,$ que no tiene soluciones. Ahora, en el octonions, $\mathbb{O}$, esta ecuación no tiene solución, ya que $(xi)y \neq x(iy)$ (debido a la falta de asociatividad en el octonions).

Así, para concluir, puramente con respecto a la resolución de ecuaciones, que se extiende $\mathbb{C}$ a dimensiones superiores ($\mathbb{H, O, S, }$ etc.) nos permite resolver previamente sin solución de las ecuaciones (por ejemplo, mediante la explotación de una falta de conmutatividad y/o la falta de asociatividad). También nos permite encontrar incluso más de las ecuaciones de polinomios (aunque por qué alguien querría así que muchas de las soluciones es más allá de mí).

Answer 2

Sammy Negro, se ha ofrecido una respuesta usando álgebra de clifford. Yo como bien, porque creo que ha perdido el punto importante: que los números complejos y cuaterniones ambos surgen de la consideración de operaciones de rotaciones en un verdadero álgebra de clifford.

Considere la posibilidad de la real álgebra de clifford $\mathbb G^2$, formado en la parte superior de $\mathbb R^2$. La base de los elementos del álgebra $1, e_1, e_2, e_1 e_2$. El uso de la geometría del producto, la base del elemento $e_1 e_2$ plazas $-1$:

$$e_1 e_2 e_1 e_2 = -e_1 e_2 e_2 e_1 = -1$$

Es natural considerar las $e_1 e_2$ como geométricamente significativo de la cantidad que se comporta de manera similar a la unidad imaginaria de los números complejos. El subalgebra de combinaciones lineales de $1$ $e_1 e_2$ es idéntica a la del álgebra de los números complejos.

Pero lo más crítico, los objetos surgen de forma natural en la rotación de las operaciones. Una rotación puede ser derivada a partir de una composición de reflexiones. Una reflexión puede ser escrito en un álgebra de clifford de la siguiente manera: una reflexión a través de una línea con vector normal $n$ mapas de un vector $a \mapsto -nan$. Por lo tanto, dos reflexiones puede ser escrito como $(mn)a(nm)$ para otro vector de $m$. El producto $mn$ es también una combinación lineal de $1, e_1 e_2$, lo $mn$ es "número complejo".

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La rotación argumento funciona de la misma manera para 3d, por el álgebra de clifford $\mathbb G^3$ que está construido en la parte superior de $\mathbb R^3$. En particular, la geometría del producto de dos vectores $mn$ es en general una combinación lineal de la base de cuatro elementos: $1, e_1 e_2, e_2 e_3, e_3 e_1$. Como antes, cada uno de estos tres últimos base de los elementos de plazas a $-1$, por lo que todos ellos corresponden a unidades imaginarias que se utilizan en los cuaterniones.

Answer 3

La principal utilidad y la razón principal de Hamilton, buscó algo como los cuaterniones, que yo sepa, era encontrar una $3$-d analógica del complejo del campo de uso en el avión.

Analíticamente, las cosas son menos agradable. Es bien sabido que algunas de las principales equivalencias de análisis complejos que ya no mantienen para los cuaterniones, y que necesita ser modificado.

Tan lejos como las soluciones de las ecuaciones se refiere, las cosas son radicalmente diferentes de los números complejos. Para una cosa, $x^2=-1$ tiene una cantidad no numerable de raíces! Es verdad que cualquier polinomio de la forma $\sum q_ix^i$ $q_i\in \Bbb H$ tiene una raíz en $\Bbb H$, pero un factor teorema no es posible debido a la falta de conmutatividad en los cuaterniones.

Si realmente la intención de hablar acerca de polinomios con la intención de evaluar el indeterminado en cuaterniones valores, entonces usted no puede permitir que los coeficientes a conmuta con $x$ más, y los polinomios como se describió anteriormente, aún no siendo cerrado bajo la multiplicación.

Hay una analogía con el teorema fundamental del álgebra para $\Bbb H$ que nos permite concluir un gran subconjunto de estos polinomios generalizados tiene una raíz en $\Bbb H$, pero hay de hecho generalizado de los polinomios de más de $\Bbb H$ que carecen de raíces en $\Bbb H$.

Un ejemplo sencillo es que $qx-xq$ siempre tiene parte real $0$, por lo que es imposible hacer $qx-xq+1=0$.

Answer 4

Para proporcionar una perspectiva ligeramente diferente, $\Bbb{H}$ es importante porque la toma de $\Bbb{R}$, $\Bbb{C}$, y $\Bbb{H}$ juntos es una fecunda idea. En el estudio de álgebras con una forma cuadrática sobre los reales y sus extensiones, es una ventaja a considerar el álgebra de Clifford, el "más libre" (unital, asociativa) álgebra sobre el subyacente de espacio vectorial $V$, la satisfacción de la relación $$ v^2 = Q(v) \cdot 1 \qquad \text{para todo } v \en V. $$ El uso de la polarización de la identidad, esto es equivalente a la relación con el uso de la simetría, la forma bilineal: $$ vw + wv = 2 \langle v, w \rangle \cdot 1 \qquad \text{para todo } v,w \en V. $$

La clasificación de estas álgebras requiere de los tres reales, normativa, (asociativa) álgebras de división: $\Bbb{R}$, $\Bbb{C}$, y $\Bbb{H}$, y la matriz de anillos sobre ellos, y tiene un buen período de $8$ simetría. Este es uno de los puntos de partida del estudio de la homotopy tipo de la real ortogonal grupos $O_n(\Bbb{R})$ y Bott fascinante Periodicidad Teorema.