Antiderivada de$|\sin(x)|$

Question

Debido a que$$\int_0^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x=2,$$ then $$\int_0^{16\pi}|\sin(x)|\,\mathrm{d}x=32.$ $ Y Wolfram Alpha está de acuerdo con esto, pero cuando pido la integral indefinida # Sin sintaxis

Answer 1

El $c$ es importante aquí! Este es un problema sutil que viene con fórmulas para antiderivatives: en cualquier punto donde la antiderivada "sin el $c$" es discontinuo, el valor de $c$ puede cambiar.

Supongamos $I$ es un intervalo entre dos consecutivos raíces de $\sin(x)$.

• Si $\sin(x)$ es positivo en $I$, $|\sin(x)| = \sin(x)$ y su antiderivada es $-\cos(x) + c$.

• Si $\sin(x)$ es negativo en el $I$, $|\sin(x)| = -\sin(x)$ y su antiderivada es $\cos(x) + c$.

Así que una antiderivada de $\sin(x)$ realmente es $$-\cos(x)\operatorname{sgn}(\sin(x)) + c,$$ at least on every such interval $I$. And of course the only points left out are the roots of $\sin(x)$, which form a discrete set. Here is a graph of that function, with $c = 0$, from Wolfram Alpha. As you can see. it has a jump discontinuity at each root of $\sin(x)$.

La razón por la que las integrales en el post original no funcionan es que si queremos una antiderivada que está definida en una región que es más que el intervalo entre las dos raíces, la $c$ debe cambiar en cada raíz de $\sin(x)$ a dar un continuo antiderivada. Esta es la razón por la ingenua cálculo integral hecho en el post hay errores, porque $c$ sólo es constante en cada intervalo de $I$.

Si miramos un gráfico de $-\cos(x)\operatorname{sgn}(\sin(x))$ arriba, verás que tiene un salto de discontinuidad de $2$ a cada raíz (debido a $\int_0^\pi \sin(x) = 2$), y de que no se "aplana" en cada raíz. Así que una antiderivada de $|\sin(x)|$ definido en todos los de $\mathbb{R}$ es $$-\cos(x)\operatorname{sgn}(\sin(x)) + j(x) + c,$$ where $j(x)$ is a particular step function that increases by $2$ at each root of $\sin(x)$. But, in a table of integrals,the $j(x)$ may seem to be "hidden" inside the $c$.

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Podemos ver otro ejemplo. que es un poco más fácil porque no tiene ningún periódico de la naturaleza. Considere la posibilidad de $\int |e^x - 1|\,dx$. Es fácil preparar una antiderivada $f(x)$$\mathbb{R} \setminus \{0\}$: $$ f(x) = \begin{cases} e^x - x + c & ; x > 0, \\ -e^x + x + c & ; x < 0. \end{casos} $$ Podemos ser tentados a escribir esto como $f(x) = (e^x - x)\operatorname{sgn}(e^x - 1) + c$, y que es la correcta en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, a pesar de la '$c$' puede ser diferente en cada lado de la $0$.

Ahora, echemos un vistazo a la gráfica de $f(x)$ ($c = 0$en todas partes) de Wolfram Alpha. Hay un salto de discontinuidad en $x = 0$.

Usted puede ver y comprobar en forma algebraica) que $$\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 0 = \lim_{x \to 0^+} f'(x) = (e^x - 1)\big |_{x =0}.$$ Así que podemos hacer $f$ continua y diferenciable en a $\mathbb{R}$ eligiendo $c$ adecuadamente en cada lado de la $0$ para eliminar el salto de discontinuidad. El resultado de la función será una antiderivada de $|e^x - 1|$ que es correcto en todos los de $\mathbb{R}$.

Answer 2

Para$x\in[n\pi,(n+1)\pi]$, obtendremos $ \ $ \ $ \ $ {$} - {align} $$ Piecing$(1)$ y$(2)$ en conjunto produce $ \ $ \ int_0 ^ x | \ sin (t) | \, \ mathrm {d} Pi \ overbrace {\ lfloor x / \ pi \ rfloor} ^ n) 2 \ overbrace {\ lfloor x / \ pi \ rfloor} ^ n \ tag {3} $$

Answer 3

$$f(x) = \int_0^x |\sin x| \, dx = (1-\cos x), 0\le x \le \pi.$$ since the integrand is $ \ pi$-periodic, we can extend the formula for $$f(x) = f(\pi) + f(x-\pi), \pi \le x \le 2\pi$$ and so on. you can verify that $

Answer 4

Uso de la simetría:$\int_0^\pi|\sin x|dx=2$ then$\int_0^{16\pi}|\sin x|dx=16.2=32$

Answer 5

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $\ds{}$ \begin{align}&\color{#66f}{\large\int\verts{\sin\pars{x}}\,\dd x} =x\verts{\sin\pars{x}}-\int x\,{\rm sgn}\pars{\sin\pars{x}}\cos\pars{x}\,\dd x \\[5mm]&=x\verts{\sin\pars{x}} -\int\,{\rm sgn}\pars{\sin\pars{x}}\,\dd\bracks{\cos\pars{x} + x\sin\pars{x}} \\[1cm]&=x\verts{\sin\pars{x}} -\bracks{\cos\pars{x} + x\sin\pars{x}}\,{\rm sgn}\pars{\sin\pars{x}} \\[5mm]&+\int\bracks{\cos\pars{x} + x\sin\pars{x}}2\delta\pars{\sin\pars{x}} \cos\pars{x}\,\dd x \\[1cm]&=-\cos\pars{x}\,{\rm sgn}\pars{\sin\pars{x}} +2\int\delta\pars{\sin\pars{x}}\,\dd x \\[5mm]&=\color{#66f}{\large -\cos\pars{x}\,{\rm sgn}\pars{\sin\pars{x}} +2\sum_{n=-\infty}^{\infty}\ \int\delta\pars{x - n\pi}\,\dd x} \end{align}

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A continuación, $$ \int_{0}^{16\pi}\verts{\sin\pars{x}}\,\dd x =\overbrace{\left.\vphantom{\LARGE}-\cos\pars{x}\,{\rm sgn}\pars{\sin\pars{x}} \right\vert_{\ 0}^{\ 16\pi}}^{\ds{=\ \dsc{0}}}\ +\ 2\ \overbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\ \int_{0^{-}}^{\pars{16\pi}^{\, +}}\delta\pars{x - n\pi}\,\dd x}^{\ds{=\ \dsc{16}}} \ =\ 32 $$