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Dicen que una de morfismos en $\mathcal{C}$ es un débil equivalencia si es tanto monic y épica. Entonces:
Los siguientes son equivalentes:
- $\mathcal{C}$ es una equilibrada categoría.
- Todos los fieles functor $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ es conservador, y la débil equivalencias en $\mathcal{C}$ satisfacer el derecho de Mineral de condición, es decir, por cada morfismos $f : X \to Y$ $\mathcal{C}$ y cada día más débil de equivalencia $y : Y' \to Y$$\mathcal{C}$, hay un conmutativa de la plaza de la siguiente forma,
$$\requieren{AMScd}
\begin{CD}
X' @>{x}>> X \\
@V{f'}VV @VV{f}V \\
Y' @>>{y}> Y
\end{CD}$$
donde $x : X' \to X$ es también una débil equivalencia en $\mathcal{C}$.
La tendencia a la baja implicación es directa, por lo que asumir el segundo conjunto de hipótesis. Ya débil equivalencias en $\mathcal{C}$ son monomorphisms, el derecho de Mineral de condición suficiente para establecer un cálculo de derecho fracciones. Concretamente, esto significa que tenemos la siguiente construcción de la localización de $\mathcal{C}$ con respecto a la debilidad de las equivalencias:
- Los objetos son como en $\mathcal{C}$.
- Los morfismos $X \to Y$ son clases de equivalencia zigzags de la siguiente forma,
$$\begin{CD}
X @<<< \bullet @>>> Y
\end{CD}$$
donde el hacia la izquierda de la flecha es un débil equivalencia en $\mathcal{C}$, y dado cualquier conmutativo el diagrama en $\mathcal{C}$ de la siguiente forma,
$$\begin{CD}
X @<<< \bullet @>>> Y \\
@| @AAA @| \\
X @<<< \bullet @>>> Y \\
@| @VVV @| \\
X @<<< \bullet @>>> Y
\end{CD}$$
donde todos los de izquierdas-que apuntan las flechas son débiles equivalencias en $\mathcal{C}$, podemos definir la fila superior y la parte inferior de la fila equivalente zig-zag.
Llame a esta categoría $\mathcal{D}$. Hay un evidente functor $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ y es fiel: en efecto, dado un conmutativo el diagrama de la siguiente forma,
$$\begin{CD}
X @= X @>>> Y \\
@| @AAA @| \\
X @<<< X' @>>> Y \\
@| @VVV @| \\
X @= X @>>> Y
\end{CD}$$
donde $X' \to X$ es un epimorphism, las dos flechas $X \to Y$ debe ser igual.
Por lo tanto, bajo la hipótesis de que todos los fieles functor $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ es conservador, cada día más débil de la equivalencia en $\mathcal{C}$ ya es un isomorfismo, es decir, $\mathcal{C}$ es equilibrada.
Cabe señalar que hay un no-equilibrado categoría $\mathcal{C}$ para que el de arriba a la derecha de Mineral se satisface la condición, es decir,$\mathbf{Top}$. Pero es evidente que existe una fiel conservador no functor $\mathbf{Top} \to \mathbf{Set}$, por lo que no hemos aprendido mucho.
