Cuando se aprende sobre el cálculo estocástico, se suelen encontrar los cálculos de Ito y Stratonovich, normalmente en ese orden. Hay muchas diferencias entre ambos (los procesos de Ito tienen mejores propiedades de martingala y de Markov, mientras que los procesos de Stratonovich obedecen a la regla de la cadena del cálculo ordinario), pero a nivel fundamental, estas diferencias provienen de cómo se definen las integrales de cada cálculo:
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El cálculo de Ito no es más que la integración utilizando el esquema de Euler hacia adelante: $$dX_t=a(t,X_t)dt + b(t,X_t)dW_t \Rightarrow$$ $$ X_t-X_0=\lim_{\Delta t\to 0}\Big(\sum_{n} a(t_n,X_{t_n}) (t_{n+1}-t_n) + \sum_{n} b(t_n,X_{t_n}) (W_{t_{n+1}}-W_{t_n}) \Big)$$
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El cálculo de Stratonovich no es más que la integración mediante la regla trapezoidal: $$dX_t=a(t,X_t)dt + b(t,X_t)\circ dW_t \Rightarrow$$ $$ X_t-X_0=\lim_{\Delta t\to 0}\Big(\sum_{n} \frac{a(t_{n+1},X_{t_{n+1}})+a(t_{n},X_{t_{n}})}{2} (t_{n+1}-t_n) + \sum_{n} \frac{b(t_{n+1},X_{t_{n+1}})+ b(t_n,X_{t_n})}{2} (W_{t_{n+1}}-W_{t_n}) \Big)$$
(Lo anterior son sólo bocetos, especialmente los límites de la suma. Denoto el movimiento browniano por $W_t$ y $\Delta t=t_{n+1}-t_n$ se supone constante arriba aunque la malla de tiempo real no es importante)
Entonces... ¿qué pasa si elijo otro método de integración, como la regla de Simpson? ¿Runge-Kutta? (Recuerdo de Kloeden y Platen que R-K no es posible por alguna razón) ¿Euler hacia atrás? ¿Etcétera? ¿Es posible hacerlo? ¿Terminaré con algo reducible a Ito o Stratonovich, conduce a cálculos "basura" (es decir, nada de interés), o hay algún otro cálculo útil por ahí?
