Pruebalo $M = \mathbb Z^+$

Question

Sea$M$ un subconjunto no vacío de$\mathbb Z^+$ tal que para cada elemento$x$ en$M,$ los números$4x$ y$\lfloor \sqrt x \rfloor$% Pruebalo $M.$.

Supongamos que$M = \mathbb Z^+$. Entonces también lo son$a \in M$ y$4ak$ para cada múltiplo entero positivo de$\lfloor \sqrt{4ak} \rfloor$. También podríamos tomar un múltiplo de$k$, luego hacer la raíz cuadrada y el piso, etc, en muchas combinaciones diferentes. ¿Cómo probamos que$4$ es todo de$M$?

Answer 1

Empezando en cualquier $m \in M$ y aplicar repetidamente $f(x)=[\sqrt{x}]$ (yo uso $[u]$ para el suelo de $u$) uno con el tiempo se $1 \in M,$ entonces repetidamente multiplicando por $4$ tenemos $4^k \in M,$ a continuación, aplicar la $f$ a estos tenemos $2^k \in M$ todos los $k,$ es decir $M$ contiene los poderes de $2.$ En lo que sigue utilizamos "entero intervalos" como $[r,s)$ a la media de la intersección de los intervalos correspondientes de reales con los números enteros. En particular, para cualquier $x,$ $[x,x+1)$ sólo significa que el singleton $\{x\},$ y, por ejemplo, $[1,5)$ se compone de $\{1,2,3,4\}.$

Estamos interesados en la inversa de la imagen en $f$ de uno de estos entero intervalos de $[a,b),$ y afirman que la inversa de la imagen es $[a^2,b^2).$ Esto es fácil de comprobar. A su vez, la inversa de la imagen de que la imagen inversa de a $[a,b)$ $[a^4,b^4).$ La idea de que el resto de la prueba de que uno puede obtener un número de $m$ es para demostrar que un nivel suficientemente alto de imagen inversa del intervalo de $[m,m+1)$ contendrá al menos un poder de $2,$ y ya sabemos que estos son en $M,$ que puede llegar a $m$ desde algunos lo suficientemente alto poder de $2$ sobre la aplicación de la $f$ bastantes veces.

Así que para fijo $m$ $k \ge 1$ deje $I_k$ ser el intervalo de $$I_k=[m^{2^k},\ (m+1)^{2^k}).$$ Cualquier entero en $I_k$, después de la $k$ aplicaciones de $f,$ dar $m.$, por Lo que sólo tenemos que mostrar que por lo suficientemente grande como $k$ no es una potencia de $2$ $I_k.$ Para evitar el problema en el extremo derecho que no queremos que la única potencia de 2 a ese extremo, procedemos a organizar que, de hecho, hay al menos dos poderes de $2$ $I_k.$

Usamos la notación $\rm{lg}\ x$ para el registro de la base de $2,$ y tenga en cuenta que $2^r \in I_k$ es equivalente a $r$ agazapado en algún lugar en el intervalo de

$$J_k=[2^k \rm{lg} (m),\ 2^k \rm{lg} (m+1)).$$

Así que si tomamos $k$ suficientemente grande como para que $J_k$ tiene una longitud mayor de $2,$, entonces habrá dos valores de $r$ en el intervalo de $J_k,$, por lo que habrá dos diferentes valores de $k$ tal que $2^k$ se encuentra en el intervalo de $I_k$ como se desee. Ahora la longitud del intervalo de $J_k$$2^k\ \rm{lg}\frac{m+1}{m},$, por lo que fácilmente podemos hacer $J_k$ tiene una longitud mayor de $2.$

Añadido posterior: Como @user84413 señala en un comentario, solo necesitamos la longitud de $J_k$ a de ser al menos 1. Es un medio abierto intervalo de reales, y cualquier intervalo de longitud 1 o más tendrán un entero en ella, que puede ser el $r$ a partir de que $2^r$ se encuentra en $I_k.$ Esto reduce el tamaño de la computación de un ejemplo.

Answer 2

Utilice el hecho de que$\lfloor \sqrt{x} \rfloor \in M$ para cada$x \in M$ para mostrar que$1 \in M$, por lo tanto$M$ contiene todos los múltiples de$4$. Para finalizar, utilice el hecho de que siempre hay un múltiplo de$4$ entre dos cuadrados consecutivos.