En primer lugar, permítanme señalar que la teoría de conjuntos es una fundación de las matemáticas tanto como la corriente eléctrica es la forma real de un equipo "piensa". Usted incluso no tiene que ir tan lejos, usted puede ir para el código de la máquina en sí.
¿Alguna vez has mirado el código desensamblado? Se toma un pedazo de código que se compila a partir de, tal vez, un lenguaje de alto nivel (como C++, Visual Basic, C#, etc), y le muestra lo que son las operaciones que se envían al equipo. Es muy onu-esclarecedoras acerca de la finalidad del código original, a menos que el código original de la misma fue en la asamblea. Pero todavía funciona.
En una manera similar a la traducción de todo lo que en el lenguaje de la $\{\in\}$ y conjuntos termina en un extraño resultado, a menudo permitiendo loco tipo de errores (por ejemplo,$\{\langle 0,1\rangle\}\subseteq 4$). Pero el punto fundacional de la teoría de conjuntos no es tener un sensible traducción, pero para tener algún tipo de una constante de la CPU donde la matemática puede ser ejecutado. En este aspecto la teoría de conjuntos nos permite convertir todo en la lógica de primer orden teorías, donde podemos aplicar la integridad, completitud y la deducción de teoremas sobre ellos.
Clásico de las matemáticas como el cálculo básico de álgebra lineal, teoría de la medida, el clásico análisis funcional, esas cosas pueden ser fácilmente modelada en $\sf{ZFC}$. Verdad sea dicha, $\sf{ZFC}$ es mucho más fuerte de lo necesario, y hay gente hoy en día trabajando en el uso de aritmética (generalmente de segundo orden aritmética, o el debilitamiento de la misma) como el uso de los fundacional de la teoría.
Sin embargo, el más matemáticas progresado en abstracciones y del infinito, que había puntos que no estaban dentro del alcance de "vainilla $\sf{ZFC}$". Por ejemplo, clases, clases de clases, un montón de categoría teoría, etc.
Mientras que es posible cambiar de $\sf{ZFC}$$\sf{NBG}$, que es un conservador de extensión que permite que las clases, uno se convierte en dos clasificados de la teoría de que a menudo es un poco menos conveniente, pero que sólo puede llevarse tan lejos y no siempre es suficiente. Así que Grothendieck sugirió universos, que fue un concepto utilizado posteriormente para la Tarski-Grothendieck la teoría de conjuntos, que en sí es una extensión de $\sf{ZFC}$. Pero los grandes cardenales nos permiten corregir esta situación. Grandes cardenales nos permiten tener marcos mucho más fuerte que los universos. De hecho, la TG de la teoría de conjuntos es equivalente a algunas de las grandes cardenal adiciones a $\sf{ZFC}$.
Hablando de grandes cardenales, podemos ir más allá, se ha sugerido que existe una profunda conexión entre algunos de los conceptos en categorías de modelo y homotopy la teoría y la ampliación de los cardenales. Yo no estoy familiarizado con los detalles, pero tuve un par de charlas cortas con un par de personas que lo hacen, y parece que con el fin de formalizar algunos noción general del modelo de categoría al parecer usas mucho más que inaccesible cardenales (las palabras Vopenka principio vienen a la mente). Pero eso también está dentro del alcance de $\sf{ZFC}$+apropiado gran cardenal axiomas.
Lo que no puede ser formalizado en la teoría de conjuntos? Bien. Nadie sabe el futuro, sólo puedo afirmar con certeza que en algún punto de morir. Actualmente creo que la manera de pensar acerca de las matemáticas es que, básicamente, todo lo que se puede convertir en la teoría de conjuntos. En particular, $\sf{ZFC}$+axiomas que aún no se han demostrado incompatibles con $\sf{ZFC}$.
Pero volvamos de nuestras cabezas, por un momento, al otro lado de la teoría de conjuntos. Algebraicas teoría de conjuntos. La idea no es poner énfasis en los elementos y estructura de afiliación, sino en las funciones entre los conjuntos. Tal conjunto de teorías como la ETCS se han propuesto como base para muchas de las matemáticas en lugar de la clásica de la $\sf{ZFC}$ fundaciones. Ha habido muchas discusiones sobre el tema hace un mes después de que un papel que se llama "el Replanteamiento de la Teoría de conjuntos" por Tom Leister fue publicado en línea. Tomar parte en los debates que he aprendido dos cosas que me han conocido antes:
- Cada vez que se toman "concreto de las matemáticas" (por ejemplo, el análisis, la teoría de la medida, etc) y convertirlo en la teoría de conjuntos que invariablemente va a perder parte de la intuición.
- Estructural de la teoría de conjuntos, mientras que puede servir de base para $\sf{ZFC}$, hacen una mierda de idioma para hablar de un montón de temas que hacen interés $\sf{ZFC}$ orientado a establecer los teóricos. Esto es, en un modo similar a cómo $\sf{ZFC}$ categoría teoría engorroso.
El tipo de discusiones se desvaneció y murió, pero parecía que ellos han salido con una especie de pista de que el tipo de la teoría del día del tentáculo está cerca. En el formulario de Martin-Lof y DORAR/SEARC. Pero yo no sé acerca de eso. Debo parar. Gracias por la lectura.
