¿Cómo se puede encontrar el grupo de simetría de un Lagrangiano?

Question

Pido disculpas de antemano por mi inglés básico, pero me gustaría saber si hay una regla, un libro o en general de alguna manera con el fin de determinar el interior simetrías, el medidor de simetrías o todas las simetrías de una densidad Lagrangiana. Sé que hay es el del teorema de Noether que me dará la conserva actual de la simetría, pero mi problema es a priori: ¿cómo puedo encontrar la mayor simetría interna de un determinado Lagrange? Ya quiero ser más clara que puedo dar algún ejemplo. Supongamos que tengo dos verdaderos campos de $\phi_1$ $\phi_2$ de manera tal que el Lagrangiano es

$\mathcal{L}(\phi_1,\phi_2)=\frac{1}{2}\partial_\mu \phi_1\partial^\mu \phi_1+\frac{1}{2}\partial_\mu\phi_2\partial^\mu \phi_2-\frac{3}{4}M^2(\phi_1^2+\phi_2^2)-\frac{1}{2}M^2\phi_1\phi_2$

Si me preguntan cuál es el grupo de simetría de este Lagrangiano es, ¿qué le vas a decir a mí?

Al mismo tiempo, puedo diagonalize la masa de la matriz y puedo definir nuevos campos

$\phi_{M^2}=\frac{\phi_2-\phi_1}{\sqrt{2}}\qquad \phi_{2M^2}=\frac{\phi_1+\phi_2}{\sqrt{2}}$

donde, si yo hice el cálculo de la derecha, que va a dar a mí una densidad Lagrangiana como

$\mathcal{L}_2(\phi_{M^2},\phi_{2M^2})=\frac{1}{2}\partial_\mu \phi_{M^2}\partial^\mu \phi_{M^2}+\frac{1}{2}\partial_\mu\phi_{2M^2}\partial^\mu \phi_{2M^2}-\frac{1}{2}[(2M^2)\phi_{2M^2}^2+M^2\phi_{2M^2}^2)]$

que es un Lagrangiano de dos de Klein-Gordon campos. Esta definición es una rotación de $45$° de la campos, ¿ esto significa que el Lagrangiano es invariante bajo(2)? Si la masa de los campos en donde el mismo, el segundo de lagrange puede ser visto como el de Klein Gordon densidad Lagrangiana de un doblete

$\Phi=\left( \begin{array}{c} \phi_1\\ \phi_2 \end{array} \right) $ ?

Es entonces esta última cosa que un ejemplo de un Lagrangiano invariante bajo(2)?

Última cosa: Si tengo un genérico de Lagrange:

$\mathcal{L}_3(\phi_1,\dots,\phi_n)=\sum_{i,j=1}^n\left(\frac{1}{2}K_{ij}\partial_\mu\phi_i\partial^\mu\phi^j-M_{ij}\phi^i\phi^j\right)-V(\phi_i)$

donde $K_{ij}$ $M_{ij}$ real simétrica constante matrices; $K_{ij}$ es no-singular positiva definida la matriz. ¿Cuál es el mayor simetría interna de la cinética plazo? ¿Cuál es la forma de $M_{ij}$ de manera tal que la masa plazo es invariante bajo este grupo $G$?

Espero que los tres ejemplos nos ayudarán a entender lo que quiero decir y lo que me gustaría ser respondidas. Si hay una referencia, un libro de texto o cualquier cosa que me pueda ayudar a entender cómo lidiar con este tipo de preguntas realmente aprecio.

Answer 1

Por lo que realmente tiene dos estrechamente relacionados con las preguntas aquí. Empecemos con el más fácil. Usted escribió el Lagrangiano

$\mathcal{L}(\phi_1,\phi_2)=\frac{1}{2}\partial_\mu \phi_1\partial^\mu \phi_1+\frac{1}{2}\partial_\mu\phi_2\partial^\mu \phi_2-\frac{3}{4}M^2(\phi_1^2+\phi_2^2)-\frac{1}{2}M^2\phi_1\phi_2$

Y pidió que el grupo de simetría. Puedo ver que los tres primeros términos tienen una $SO(2)$ simetría, pero esta simetría se rompe por el $\phi_1 \phi_2$ cruz plazo. Usted ha hecho un cambio de variables,

$\phi_{M^2}=\frac{\phi_2-\phi_1}{\sqrt{2}}, \qquad \phi_{2M^2}=\frac{\phi_1+\phi_2}{\sqrt{2}}$,

lo que hace que este hecho es más evidente. El Lagrangiano se convierte en

$\mathcal{L}_2(\phi_{M^2},\phi_{2M^2})=\frac{1}{2}\partial_\mu \phi_{M^2}\partial^\mu \phi_{M^2}+\frac{1}{2}\partial_\mu\phi_{2M^2}\partial^\mu \phi_{2M^2}-\frac{1}{2}[(2M^2)\phi_{2M^2}^2+M^2\phi_{2M^2}^2)]$

y es correcto que, si el diagonalized campos masas iguales, entonces no sería una $SO(2)$ simetría. Si usted trabaja hacia atrás a través de su cambio de variables, usted debe encontrar que la diagonal campos tienen masas iguales si y sólo si el $\phi_1 \phi_2$ plazo había desaparecido en el primer lugar.

Ahora echemos un vistazo a su más general de Lagrange:

$\mathcal{L}_3(\phi_1,\dots,\phi_n)=\sum_{i,j=1}^n\left(\frac{1}{2}K_{ij}\partial_\mu\phi_i\partial^\mu\phi^j-M_{ij}\phi^i\phi^j\right)-V(\phi_i)$

Desde $K_{ij}$ es real y simétrica, puede ser diagonalized por una matriz ortogonal. Finalmente, por el reescalado de los campos, puede establecer $K_{ij} = \delta_{ij}$ darte la norma cinética plazo. Este término es $SO(n)$ invariante.

La pregunta que queda es, después de hacer este campo redefinición, ¿qué $M_{ij}$? Desde la cinética término es ahora $SO(n)$ invariante, y $M_{ij}$ es simétrica, también podemos diagonalize $M_{ij}$. Sin embargo, no podemos hacer nada más rescalings, por lo que el nuevo Lagrange, escrita en términos de masa eigenfields, genéricamente tienen campos con diferentes masas. Si todas las masas son diferentes, entonces todas las $SO(n)$ simetría se rompe. Si las masas son iguales, entonces sus multiplicidades que se puede dejar un residual $SO(k) \times SO(\ell) \times \ldots$, etc.

Editado para añadir: también es necesario mirar las simetrías de su potencial $V(\phi)$, lo que puede romper la simetría!