Resolver

Question

La solución de $$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x \sqrt{x^2+3y^2} \,dy\, dx $$

He intentado hacer este cambio de variable: $(x,y) = (u, \frac{v}{\sqrt{3}}) $ Así que el Jacobiano es: $\frac{\sqrt{3}}{3}$, y la integral será:

$$\int_0^1 \int_0^u u \sqrt{u^2+v^2} \frac{\sqrt{3}}{3} \,dv\, du $$

Luego probé usando coordenadas polares: $(u,v) = (r\cos(\theta),r\sin(\theta))$ Y la integral se convirtió en:

$$\frac{\sqrt{3}}{3}\int_0^{\pi/4} \int_0^{\s(\theta)} r^2\cos(\theta) r \, dr \,d\theta = \frac{\sqrt{3}}{12}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \s^3(\theta) \, dr\, d\theta $$

Pero que no me dará la respuesta $$ \frac{\sqrt{3}}{24} ( 2 \sqrt3 + \ln(2+ \sqrt3)$$

Alguien me puede ayudar? Gracias.

Edit: Gracias por las respuestas. Quiero entender también por qué mis cálculos están equivocados. Alguien puede resolver mediante el cambio de variables que he utilizado? O son ellos o no razón?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \ int_0 ^ 1 \ int_ {0} ^ {x} x \ sqrt {x ^ 2 3y ^ 2} \, dy \, dx = \ int_0 ^ 1 x \ left (\ int_ {0} {X} \ sqrt {x ^ 2 3y ^ 2} \ dy \ derecha) dx $$ y la integral interna se puede tomar usando identity (29) en http://integral-table.com : $$ \ int \ Sqrt {a ^ 2 y ^ 2} \ dy = \ frac {y} {2} \ sqrt {a ^ 2 y ^ 2} \ frac {a ^ 2} {2} \ ln \ left | Y \ sqrt {y ^ 2 a ^ 2} \ right | C $$

Answer 2

Sugerencia . Se puede integrar con respecto a$y$ realizando primero el cambio de variable $$ y = \ frac {x} {\ sqrt {3}} \ sinh t, \ quad dy = \ frac {x} {\ sqrt { 3}} \ cosh t \: dt,$$ giving, for $ x \ in [0,1] $, $$ \begin{align} \int_{0}^{x} x \sqrt{x^2+3y^2} dy&=\frac{x^3}{\sqrt{3}}\int_{0}^{\log\left(2+\sqrt{3}\right)} \sqrt{1+\sinh^2 t} \:\cosh t\:dt \\\\&=\frac{x^3}{\sqrt{3}}\int_{0}^{\log\left(2+\sqrt{3}\right)} \cosh^2 t\:dt \\\\&=\frac{x^3}{2\sqrt{3}}\int_{0}^{\log\left(2+\sqrt{3}\right)} (1+\cosh (2t))\:dt \\\\&=\frac{x^3}{2\sqrt{3}}\left(2 \sqrt{3}+\log\left(2+\sqrt{3}\right)\right) \end {align}$$ then it is easier to integrate with respect to $ x $.

Answer 3

Vamos$u=\frac{\sqrt{3}y}{x}$ y$v=x$, así que$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x \sqrt{x^2+3y^2} \,dy\, dx=\frac{\sqrt{3}}{3}\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{3}}v^3\sqrt{1+u^2}dudv=\frac{\sqrt{3}}{3}\int_{0}^{1}v^3dv \int_{0}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+u^2}du $ $$$I=\frac{\sqrt{3}}{12}\frac{u\sqrt{1+u^2}+\ln(u+\sqrt{1+u^2})}{2}\mathcal{|_{0}^\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{24}(2\sqrt{3}+\ln(2+\sqrt{3}))$ $