Stone-Čech Compactación de los números naturales

Question

Estoy tratando de probar que si$U$ está contenido en la Compactación Stone-Čech del número natural ($\beta N$) que el cierre de$U$ está abierto.

Tengo un tiempo muy difícil incluso con la comprensión de lo que es la Stone-Čech Compactification, por lo que ni siquiera puedo iniciar este problema. Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

¡Gracias!

Answer 1

Lema 1 (véase la Engelking del libro Corolario 3.6.5): Para cada abierto y cerrado subconjunto $A$ de un espacio de Tychonoff $X$ el cierre de la $\overline{A}$ $A$ $\beta X$ es abierto y cerrado.

Prueba: Aviso que $U \cap N$ no está vacío, ya que $U$ es abierto y $N$ es denso en $\beta X$. Por otra parte, $U \cap N$ es abierto y cerrado en $N$, entonces podemos aplicar el Lema de la 1 a la conclusión de que la $\overline{U\cap N}$ está abierto en $\beta X$. Por último, tenga en cuenta que $\overline{U}=\overline{U\cap N}$, ya que el $N$ es denso en $\beta N$. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $\overline{U}$ está abierto en $\beta X$.

Answer 2

Una propiedad básica (quizás definiendo) de$\beta$ nos dice:

Sea$X$ completamente Hausdorff regular y deje que$Y$ sea Hausdorff compacto. Si$f : X \to Y$ es continuo, entonces hay una extensión continua única$f^\beta : \beta X \to Y$.

Entonces deja $U \subset \mathbb N$. Sea$f : \mathbb N \to \{0,1\}$ la función característica de$U$. Examine lo que significa para la extensión$f^\beta$.

Answer 3

Al igual que los que han respondido anteriormente (GEdgar y Paul), asumiré que usted pretendía que$U$ fuera un subconjunto de$\mathbb N$, aunque la pregunta supone sólo$U\subseteq\beta\mathbb N$. (Si uno toma la pregunta literalmente, el resultado es simplemente falso.) Una vez que vea cómo$\beta\mathbb N$ se construye utilizando ultrafiltros, será fácil comprobar que, si$\mathbb N$ está dividido en dos partes, entonces Los cierres de esas piezas constituyen una partición de$\beta\mathbb N$. En particular,$(\beta\mathbb N)-\overline U=\overline{N-U}$ está cerrado, y por lo tanto$\overline U$ está abierto.