¿Por qué$\sin(\cos x)=\cos(\sin y)$ resulta en un enrejado de círculos?

Question

Usando la gráfica de Desmos, hice una ecuación$\sin(\cos x)=\cos(\sin y)$ ( aquí ) que dio lugar a una red extraña de símbolos. Sé que las funciones trigonométricas relacionan los lados de un triángulo con sus ángulos (SOHCAHTOA), así que ¿cómo esta ecuación crea círculos?

Answer 1

Cada uno de los siguientes pasos destruye algunas soluciones, pero podemos llegar a todos de vuelta a través de Evgeny del comentario anterior

$ \begin{align*} \sin(\cos(x)) &= \cos(\sin(y))\\ \cos(x) &= \sin^{-1}\cos(\sin(y))\\ \cos(x) &= \frac{\pi}{2}-\sin(y)\\ \cos(x) + \sin(y)&=\frac{\pi}{2} \end{align*} $

usted puede graficar esto y de ver que conseguir una fila de los "círculos" como lo que empezó.

De hecho, la representación de $\cos(x) + \sin(y) =\frac{\pi}{n}$ $n=2,3,4,5,..$ los gráficos no son círculos, pero al parecer a la aproximación de las plazas $n \to \infty$.

Esto me lleva a creer que $\cos(x) + \sin(y) =\frac{\pi}{2}$ no es un círculo, pero sólo se ve como uno. Voy a volver a este post una vez he encontrado una prueba de que no es círculo, pero espero que este poco de progreso será útil en el momento.

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He aquí una prueba:

$$x^2+\left(y-\frac{\pi }{2}\right)^2=\arccos \left(\frac{\pi }{2}-1\right)^2$$

es un círculo que está de acuerdo con el "círculo" del OP en el $4$ puntos $$(\arccos(\frac{\pi}{2})-1,\pi/2)$$ $$(-\arccos(\frac{\pi}{2})-1,\pi/2)$$ $$(0,\frac{\pi}{2} + \arccos(\frac{\pi}{2}-1))$$ $$(0,\frac{\pi}{2} - \arccos(\frac{\pi}{2}-1))$$

pero no en otros puntos, como puede verse fácilmente. Desde hace dos círculos de intercambio de 4 puntos deben ser idénticos, OP "psuedocircle" en realidad no puede ser un círculo. Es curioso que está tan cerca de uno, aunque.

Los gráficos de $\cos(x)+\sin(y)=t$ $t \to 2$ más pequeños y más pequeños, pero también más y más perfectamente circular. Parece que el OP ejemplo es sólo en algún lugar a lo largo de ese continuo.

Answer 2

Si escribimos $y = \pi/2 + s$, cerca de $(x =0, y=\pi/2)$ hemos $$\cos(x) + \sin(y) = \cos(x) + \cos(s) = 2 - (x^2 + s^2)/2 + (x^4 + s^4)/4! - \ldots$$ Al $t > 0$ es pequeña, y $x$ $s$ son pequeños, los términos en cuarto y los poderes superiores de $x$ $s$ son insignificantes, por lo que la ecuación $\cos(x) + \sin(y) = 2 - t$ se aproxima bien por $x^2 + s^2 = 2 t$, que es un círculo.

Incluyendo más términos de la serie, obtenemos

$$ x = \sqrt{2t} u(t,\theta) \cos(\theta), s = \sqrt{2t} u(t,\theta) \sin(\theta)$$ donde $$ u(t,\theta) = 1+ \left( \dfrac{\cos \left( 4\,\theta \right)}{48} +\dfrac{1}{16} \right) t + \left( {\frac {7\,\cos \left( 8\,\theta \right) }{9216}}+{\frac {9\,\cos \left( 4\,\theta \right) }{1280}}+{\frac {101}{9216}} \right) {t}^{2} + \ldots $$

Answer 3

Me gusta Desmos. Quiero más, pero tiene limitaciones. En este caso particular, puede ver cómo los bucles surgen con bastante claridad al trazar los gráficos 3D de$z=\sin(\cos(x))$ y$z=\cos(\sin(y)$ en el mismo conjunto de ejes. El resultado parece así: