Sea$Q$ una aljaba finita con el conjunto de vértices$I$. Para cada$n = 0, 1, 2, \dots,$ let$k^{(n)}Q \subset kQ$ es el intervalo lineal de todos los caminos de longitud$k$, en particular, tenemos$n$$$k^{(0)}Q = k\{I\}.$$Clearly, one has a vector space direct sum decomposition$$kQ = \bigoplus_{n \ge 0} k^{(n)}Q$ kQ$that gives $ \ mathbb {Z} _ {\ ge 0} % A_ {i, j}$ a $ j \ a i $.
Respuesta
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Fat Mind
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Digamos que la aljaba$Q$ tiene matriz de adyacencia$A$. A continuación, la entrada$ij$ de$A^n$ cuenta el número de rutas de longitud$n$ de$i$ a$j$. Así que$\dim k^{(n)}Q$ es la suma de las entradas de$A^n$. Por lo tanto su función de generación es la suma de las entradas de la matriz$\sum_{n\ge0} A^nt^n=({\rm Id}-At)^{-1}$. Observe que uno puede escribir las entradas de una matriz inversa$B^{-1}$ como funciones racionales de las entradas$B$ usando la fórmula para inversas en términos de matrices adjugadas:$B^{-1}=\det(B)^{-1}{\rm adj}(B)$.
