Evolución de la hipótesis derivada en la regla del hospital

Question

Soy docente de primer semestre de cálculo y tratando de encontrar una manera de explicar por qué cada una de las hipótesis en l'Hostpial la regla es necesaria.

Si $f$ $g$ son reales funciones diferenciables en un intervalo que contiene a un punto de $c$, a continuación, hay tres hipótesis uno necesita comprobar con el fin de aplicar l'Hospitals regla para calcular los $\lim_{x \to c} f(x)/g(x)$ :

1. $g'(x) \neq 0$ en un barrio de $c$, (la página de la wikipedia se pierde esta)
2. $\lim_{x \to c} f'(x)/g'(x)$ existe (en el sentido amplio, incluyendo a $\pm \infty$),
3. Cualquiera de las $\lim_{x \to c} g(x) = \pm \infty$ o $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0$.

Lo que estoy buscando es un par de funciones $f$$g$, de modo que 2 y 3 tienen y que razonablemente puede calcular $\lim_{x \to c} f(x)/g(x)$, pero conseguir una respuesta diferente de calcular el límite del cociente de las derivadas. Los puntos de bonificación si usted puede hacer $\lim_{x \to c} f(x) = \pm \infty$, así como en el caso de que $g(x) \to \pm \infty$.

Me fue mostrado un ejemplo como este hace mucho tiempo en mi análisis de la secuencia, pero se perdería en los estudiantes creo que:

Deje $f(x) = 2x + \sin(2x)$ y deje $g(x) = (2x+\sin(2x))e^{-\sin(x)}$. A continuación, $f/g = e^{\sin x}$ $(0,\infty)$ $\lim_{x \to \infty} f(x)/g(x)$ no existe. Ambas funciones se vaya a $\infty$ $x \to \infty$ y el límite de los cocientes de los derivados en realidad va a cero. El problema es que $g'(x)$ tiene una infinidad de ceros como $x \to \infty$, de modo que usted puede utilizar l'Hospital.

Alguna idea de cómo hacer esto más atractivo para un estudiante de primer año de cálculo estudiante?

Answer 1

Estrictamente hablando, no podemos satisfacer (2) existe lim_x→cf'(x)/g'(x), incluso en el sentido amplio, a menos que (1) g'(x) es distinto de cero en un (eliminado) vecindad de x = c. Que se requiere para f'(x)/g'(x) se define allí (en el borrado del barrio).

Estos vacíos en la definición de f'(x)/g'(x) sólo importa si se acumulan en x = c, ya que de lo contrario puede trabajar alrededor de ellos por la reducción de la vecindad para evitarlos.

Podemos considerar la posibilidad de que las brechas todos resultan ser extraíble discontinuidades de f'(x)/g'(x), de modo que una extensión continua de f'(x)/g'(x) cuando x se aproxima a c está determinada únicamente. Para que eso suceda, necesitamos que f'(x) tiene raíces de igual o mayor multiplicidad como g'(x) en esos vacíos.

Pero esto equivale a "multiplicando arriba y abajo por la misma cosa", en el sentido de que f'(x) y g'(x) tendría un factor común que contiene todas las raíces de g'(x) lo suficientemente cerca de x = c.

La propuesta de ejemplo f(x) = 2x + sen(2x) y g(x) = f(x)e^-sen(x) funciona de esta manera. El cociente de f'(x)/g'(x) no está definida cuando g'(x) = 0, pero:

g'(x) = [f'(x) - cos(x) f(x)] e^-sen(x)

f'(x) = 2(1 + cos(2x)) = 4 cos²(x)

Un factor común que contiene todas las raíces de g'(x) para suficientemente grande x es entonces cos(x). Si tenemos en "cancelar" de ese factor, extracción de raíces en el denominador, el resultado "simplificado" f'(x)/g'(x) tiene una limitada numerador y un denominador que tiende a -∞ cuando x crece (ya que f(x) tiende a ∞).

Evidentemente no podemos alegremente parche sobre extraíble singularidades de f'(x)/g'(x) por el bien de la regla de l'Hospital.