Un límite y una transformación trigonométrica de coordenadas de los puntos interiores de un cuadrado en los puntos interiores de un triángulo

Question

La transformación de coordenadas (debida a Beukers, Calabi y Kolk)

$$x=\frac{\sin u}{\cos v}$$

$$y=\frac{\sin v}{\cos u}$$

transforma el dominio cuadrado $0\lt x\lt 1$ y $0\lt y\lt 1$ en el dominio del triángulo $u,v>0,u+v<\pi /2$ (en _Pruebas del LIBRO_ por M. Aigner y G. Ziegler).

Como la transformación inversa es

$$u=\arccos \sqrt{\dfrac{1-x^{2}}{1-x^{2}y^{2}}}$$

$$v=\arccos \sqrt{\dfrac{1-y^{2}}{1-x^{2}y^{2}}}$$

es fácil ver que tres de los vértices (aunque no pertenecen al dominio) se transforman de la siguiente manera:

$$(x,y)=(0,0)\mapsto (0,0)=(u,v),$$

$$(x,y)=(1,0)\mapsto (\pi /2,0)=(u,v),$$

$$(x,y)=(0,1)\mapsto (0,\pi /2)=(u,v).$$

Pregunta 1 - Pero cómo es el cuarto vértice $(x,y)=(1,1)$ ¿Transformado? En el siguiente gráfico de $\dfrac{1-x^{2}}{1-x^{2}y^{2}}$ parece que el siguiente límite no existe

$$\underset{(x,y)\rightarrow (1,1)}{\lim }\sqrt{\dfrac{1-x^{2}}{1-x^{2}y^{2}}}.$$

Pregunta 2 - Como segunda pregunta me gustaría saber cómo se puede "descubrir" una transformación de un cuadrado en un triángulo como este. ¿Existe algún estudio sistemático sobre este tipo de transformaciones?

Answer 1

Pregunta 1: Entorno $u=\pi/2-v$ en su primer conjunto de fórmulas da $(x,y)=(1,1)$ , por lo que ese punto corresponde a toda la hipotenusa $u+v=\pi/2$ .

Pregunta 2: No tengo ni idea. (¿Suerte? ¿Inspiración? ¿Prueba y error?)