Si$A+B+C+D=\pi$, lo que es$\min(\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}+\cos{D})$

Question

Let$A,B,C,D \in R ~|~ A+B+C+D=\pi$, ¿cuál es el mínimo de la siguiente función$$f(A,B,C,D)=\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}+\cos{D}$ $

Encontré un mensaje sobre un problema similar , pero creo que un número par de variables es más difícil que un número impar de variables, ya que para tres variables,$A+B+C=\pi~|~A,B,C\in R$ se sigue que$\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=1+4\sin{\dfrac{A}{2}}\sin{\dfrac{B}{2}}\sin{\dfrac{C}{2}}\to 1$, pero para cuatro variables, No podemos

Mi intento:$$\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}+\cos{D}=2\cos{\dfrac{A+B}{2}}\cos{\dfrac{A-B}{2}}+2\cos{\dfrac{C+D}{2}}\cos{\dfrac{C-D}{2}}=2\sin{\dfrac{C+D}{2}}\cos{\dfrac{A-B}{2}}+2\cos{\dfrac{C+D}{2}}\cos{\dfrac{C-D}{2}}$ $

Answer 1

Así que queremos minimizar $f(A,B,C) = \cos A + \cos B + \cos C + \cos(\pi-A-B-C)$. Tenemos \begin{align*}\partial_A f(A,B,C) &= \sin(\pi-A-B-C) - \sin A\\ \partial_B f(A,B,C) &= \sin(\pi-A-B-C) - \sin B\\ \partial_C f(A,B,C) &= \sin(\pi-A-B-C) - \sin C \end{align*} En un mínimo, tenemos $f'(A,B,C) = 0$, esto le da $$ \sin A = \sin B = \sin C = \sin(\pi-A-B-C)$$ Así que para algunos $\lambda \in [-\pi, \pi]$, debemos tener $$ A, B, C, \pi - A- B-C \in \{\lambda, \pi-\lambda\} + 2\pi \mathbb Z$$ Ahora consideraremos dos casos (que es suficiente, ya que puede sustituir a $\lambda$ $\pi-\lambda$ son el uso de la simetría en $A, B, C$):

• Hasta múltiplos de $2\pi$, $A=B=C = \lambda$. Entonces $$ \pi - A-B-C= \pi - 3\lambda$$ hence for some $k$, $$ \pi - 3 \lambda = \lambda + 2k\pi \iff \lambda = \frac 14(2k-1)\pi $$ o $$ \pi - 3\lambda = \pi - \lambda + 2k\pi \iff 2\lambda = -2k\pi \iff \lambda = -k \pi. $$ En el primer caso $\cos \lambda \in \{\pm 2^{-1/2}\}$, por lo tanto $$ f(A,B,C) = \pm 4\cdot 2^{-1/2} = \pm 2^{3/2}. $$ En el segundo caso $\cos\lambda \in \{\pm 1\}$, por lo tanto $$ f(A,B,C) = \pm 1 \pm 1 \pm 1 \mp 1 \in \{\pm 2\} $$

• Hasta múltiplos de $2\pi$, $A = B = \lambda$, $C = \pi - \lambda$. A continuación,$A+B+C = \pi + \lambda$, por lo tanto, ya sea $$-\lambda = \lambda + 2k\pi \iff \lambda = -k\pi $$ o $$-\lambda = \pi - \lambda + 2k\pi $$ pero esto es imposible por entero $\mathbb Z$. Así que este caso da nada nuevo.

Por lo tanto, el global mínimo es $-2^{3/2}$, alcanzado, por ejemplo, cuando $A= B= C = \frac 34\pi$, $D = -\frac 54\pi$.

Answer 2

Un enfoque alternativo:

Se sabe que $$ \cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} +2 \cos\frac{C+D}{2} \cos\frac{C, D}{2}. $$ Mediante la introducción de las nuevas variables $$ Una' = \frac{A+B}{2} \quad B' = \frac{A-B}{2} \quad C' = \frac{C+D}{2} \quad D' = \frac{C, D}{2}, $$ por lo tanto $$ A = a'+B' \quad B=a'-B' \quad C = C' + D' \quad D = C'-D', $$ vemos que $A + B + C + D = \pi$ hace $2 A' + 2 C' = \pi$. Por lo tanto tenemos que minimizar las cuatro funciones $$ 2 ( \pm \cos' \pm \cos(\frac{\pi}{2} - A')) = 2( \pm \cos' \mp \pecado') $$ Se puede demostrar analíticamente (he utilizado el ordenador) que todas tienen un mínimo de $- 2 \sqrt{2}$. Por ejemplo, para ambos $`+'$ tenemos $A' = 2 \tan^{-1}(1+\sqrt{2})$. Por lo tanto $C' = \frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1}(1+\sqrt{2})$. Además hemos escogido $B' = 0$$C' = 0$. El uso de este nos encontramos con que: $$ A = \bronceado^{-1}(1+\sqrt{2}) \\ B = \bronceado^{-1}(1+\sqrt{2}) \\ C = \frac{\pi}{4} - \bronceado^{-1}(1+\sqrt{2}) \\ D = \frac{\pi}{4} - \bronceado^{-1}(1+\sqrt{2}). $$