¿Por qué el determinante de una matriz con la suma de los elementos de cada fila igual a 0 es 0?

Question

Estoy tratando de entender la prueba de un problema, pero estoy atascado. En mi libro consideran que si todas las líneas de una matriz tiene suma 0 entonces su determinante es también 0. Comprobé algunos ejemplos al azar y es verdad, pero no pude probarlo. ¿Usted me podría ayudar?

Answer 1

Deje que su matriz se llame$A$. A continuación, establezca$x$ como el vector columna de todos los 1's. Usted tiene$$Ax=0=0x$ $ Por lo tanto$x$ es un autovector de$A$, mientras que$0$ es un autovalor . Como el determinante es el producto de los valores propios, y uno de ellos es cero, el determinante debe ser cero.

Answer 2

No cambia el determinante de una matriz si tomamos una columna y se sustituya por la suma de la misma y cualquier escalar varios de) otra columna en la matriz.

Así que tome la última columna y se sustituya por la suma de sí mismo con la primera columna. Siguiente, reemplazar por la suma de sí mismo con la segunda columna. De continuar. Repitiendo este proceso hasta llegar a la siguiente a la última columna, se ve que ha reemplazado cada entrada de la original de la última columna con la suma de todas las entradas en la fila, que es cero. Así que ahora toda la última columna es cero, y el determinante debe ser cero.

Answer 3

Sugerencia: El vector$$\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$ $ es un autovector con autovalor __?

Answer 4

Otra forma de derivar este resultado:

Cuando la suma de todas las filas es cero, los vectores de fila son linealmente dependientes. Por lo tanto, el determinante es cero.

De hecho, si dos o tres o cuatro filas se suman a cero puro, el determinante es igual a cero.

Answer 5

Geométricamente hablando, el determinante se calcula el área, el volumen, o el hiper-volumen de un trapecio, de paralelepípedo, de hyper-paralelepípedo en $\mathbb{R}^2$, $\mathbb{R}^2$, o $\mathbb{R}^n$ (respectivamente). Una fila llena de ceros en una $n\times n$ matriz implica que el hyper-paralelepípedo es "falta" una dimensión que es necesario para calcular el hyper-volumen; causando el determinado para convertirse en cero.

Para visualizar mejor esta explicación, visualizar la forma de un trapecio (en dos dimensiones del objeto) puede ser representado por una $3\times 3$ matriz. Desde un trapecio no tiene un volumen, entonces el determinante debe ser cero.

Algebraicamente hablando, aplicar la técnica de co-factor de expansión.