Límite de la norma del operador$T(f)=fg$ on$L^p$ space

Question

Probar que: si$g \in L^{\infty}$, el operador$T$ definido por$Tf = fg$ está limitado en$L^{p}$ para$1\leq p\leq \infty$. Su norma de operador es como máximo$||g||_{\infty}$, con igualdad si$\mu$ es semifinite, donde$\mu$ es la medida de$\mathcal{M}$, el espacio de medida.

Mi enfoque: Considero$\hat{g(x)}(f) = f(g(x))$, que es un operador lineal en$L^{p}$. Claramente$||\hat{g(x)}|| = ||g(x) || \leq ||g||_{\infty}$, que me da la primera parte de la prueba. No tengo ni idea acerca de la segunda parte, que implica medida semifinita.

Answer 1

Si$f\in L^p$, a continuación,$$\lVert{Tf}\rVert_p^p=\int|fg|^p=\int|f|^p|g|^p\leq\lVert g\rVert_\infty^p\int|f|^p=\lVert g\rVert_\infty^p \lVert f\rVert_p^p,$$ because $ | g | \ leq \ lVert g \ rVert_ \ infty$, so $ \ lVert Tf \ rVert_p \ LVert f \ rVert_p$ and therefore $ \ lVert T \ rVert \ leq \ lVert g \ rVert_ \ infty$. Thus $ T $ está limitado.

Answer 2

Sugerencia para la segunda parte: necesita$\mu$ ser semifinite para que$\epsilon > 0$,$A$ con$0 < \mu(A) < \infty$ en el que$|g(x)| > \|g\|_\infty - \epsilon$.