Polinomio cuadrático con valor negativo alternativo

Question

Sea$f(x)=-x^2+ax+b$, donde$a,b\in\mathbb{R}$. Supongamos que existen enteros distintos$m,n$ tales que$f(m)=-n^2$ y$f(n)=-m^2$.

Demuestre que hay infinitamente muchos pares de enteros$x,y$ tales que$f(x)=-y^2$ y$f(y)=-x^2$.

[Fuente: problema de competencia de Rusia]

Answer 1

$$m^2-n^2=f(m)-f(n)=n^2-m^2+a(m-n).$ $ Por lo tanto$$a=2(m+n)\tag{1}.$ $ que implica$$-(m^2+n^2)=f(m)+f(n)=-(m^2+n^2)+a(m+n)+2b,$ $ (1) y (2) implican que$$b=-(m+n)^2.\tag{2}$ $ con$$a=2k,b=-k^2,$ Y que$k\in\Bbb Z$ $ La sentencia ahora es obvia, siempre y cuando$$f(x)=-x^2+2kx-k^2=-(x-k)^2.$, y por supuesto$x+y=k$.