Cero divisores en$A[x_1,x_2,\dots,x_r]$

Question

Estoy tratando de mostrar que si $f(x_1,x_2,\ldots, x_r) \in A[x_1,x_2,\ldots, x_r]$ es un divisor de cero, entonces existe $a$ $A-\{0\}$ tal que $af=0$$A[x_1,x_2,\ldots, x_r]$.

Lo que he probado hasta ahora de la siguiente manera.
Estoy usando inducción sobre $r$ (fijación del anillo). El caso base es de $r=1$, lo que hice suponiendo que el grado mínimo de $g$ que $fg=0$ mantiene. Así que mi hipótesis de inducción es de $r \geq 2$ siempre $f$ está en $A[x_1,x_2,\ldots x_r]$, $n<r$ es un divisor de cero no es $a$ $A-\{0\}$ tal que $af=0$. Así que para el último paso aprovecho $f(x_1,x_2,\ldots, x_r) \in A[x_1,x_2,\ldots, x_r]$ es un divisor de cero. Ahora desde $A[x_1,x_2,\ldots, x_r]=A[x_1][x_2,x_3,\ldots, x_r]$ por hipótesis de inducción no es $g$ $A[x_1]-\{0\}$ tal que $fg=0$.

No puedo seguir adelante. ¿Estoy correcto? Por favor me ayude. Gracias.

Answer 1

A partir de su razonamiento se deduce que $g(x_1)$ aniquila la (no-cero) coeficientes de $f$$A[x_1]$. Todo lo que tienes que hacer ahora es demostrar la extensión del caso de $r=1$:

Deje $f_1,\dots,f_t\in A[X]$ ser distinto de cero polinomios. Si hay $g\in A[X]$, $g\ne 0$, tal que $gf_1=\cdots=gf_t=0$, entonces no es $a\in A$, $a\ne 0$, tal que $af_1=\cdots=af_t=0$.

Se demuestra por inducción en $d=\max_{1\le i\le t}\deg f_i$ que no es un elemento $a$ como antes, que además pertenece al ideal generado por los coeficientes de $g$.

Si $d=0$ no hay nada que demostrar. Para $d\ge 1$ vamos a escribir los polinomios $f_i(X)=\sum_{j=0}^{n_i}a_{ij}X^j$ con $n_i=\deg f_i$, $\max\{n_1,\dots,n_t\}=d$, y $g(x)=\sum_{j=0}^nb_jX^j$ donde $n=\deg g$. Supongamos que $n\ge 1$. A continuación,$b_na_{in_i}=0$$i=1,\dots,t$. Ahora consideremos dos casos:
(1) Si $a_{1n_1}g=\cdots=a_{tn_t}g=0$, a continuación, establezca $f_i'=f_i-a_{in_i}X^{n_i}$. Desde $gf_i'=0$ $i=1,\dots,t$ $\max_{1\le i\le t}\deg f_i'<d$ podemos aplicar la hipótesis de inducción y encontrar un elemento $a\ne 0$ en el ideal generado por los coeficientes de $g$ tal que $af_1'=\cdots=af_t'=0$. Esto conduce a $af_1=\cdots=af_t=0$.
(2) Si no es $1\le i\le t$ tal que $a_{in_i}g\ne 0$,$(a_{in_i}g)f_1=\cdots=(a_{in_i}g)f_t=0$$\deg (a_{in_i}g)<\deg g$. Una inducción argumento en $\deg g$ demuestra que no es $a\ne 0$ en el ideal generado por los coeficientes de $a_{in_i}g$ tal que $af_1=\cdots=af_t=0$.