¿La serie converge o diverge?

Question

Quiero verificar si $$\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{n!}{(a+1)(a+2)...(a+n)}}$$

converge o diverge.

$a$ es un número constante

Prueba del cociente

$$\begin{align} & \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{n!}{(a+1)(a+2)...(a+(n-1))(a+n)}\cdot \frac{(a+1)(a+2)...(a+(n-1))}{(n-1)!}=\frac{n}{a+n} \\ & \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n}{a+n}=1 \\ \end{align}$$

No sabemos nada

Prueba de la raíz

$$\sqrt[n]{a_{n}}=\sqrt[n]{\frac{n!}{(a+1)(a+2)...(a+(n-1))(a+n)}}=$$ ¡No puedo! :(

Solo puedo resolver la serie si "a" es un número entero

$$\begin{align} & \text{si }a\in \mathbb{Z} \\ & (a+1)(a+2)...(a+(n-1))(a+n)=(n+a)(a+(n-1))...(a+2)(a+1)= \\ & (n+a)(n+a-1)(n+a-2)...(a+2)(a+1)=\frac{(n+a)!}{a!} \\ & \Rightarrow a_{n}=\frac{a!n!}{(n+a)!} \\ & \text{si }a<0\Rightarrow \text{(}n+a)1,a\in \mathbb{Z} \\ & a_{n}=\frac{a!n!}{(n+a)!}=\frac{a!n!}{(n+a)(n-1+a)...\underbrace{(n-a+a)!}_{n!}}=\frac{a!}{(n+a)(n-1+a)...(n+1)} \\ & \Rightarrow \\ & \frac{a!}{\underbrace{(n+a)(n-1+a)...(n+1)}_{a\text{ veces}}}<\frac{a!}{(n+1)^{a}}\Rightarrow \\ & \sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{a!}{(n+a)(n-1+a)...(n+1)}<\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\underbrace{\frac{a!}{(n+1)^{a}}<\infty }_{a>1}}} \\ & \text{si }a=1 \\ & \sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{a!n!}{(n+a)!}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{a!n!}{(n+1)!}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{a!}{n+1}}=\infty \\ \end{align}$$

Pero ¿cómo puedo resolver si "a" no es un número entero?

Answer 1

Desde: $$(a+1)(a+2)\cdot\ldots\cdot(a+n)=\frac{\Gamma(a+n+1)}{\Gamma(a+1)}$$ asumiendo $\Re(a)>1$ podemos escribir la serie original como: $$S = \sum_{n\geq 1}\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(a+1)}{\Gamma(a+n+1)}=\sum_{n\geq 1}n\cdot B(n,a+1)=\sum_{n\geq 1}n\int_{0}^{1}x^{n-1}(1-x)^a\,dx \tag{1}$$ pero $\sum_{n\geq 1}n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$ da: $$S = \int_{0}^{1}(1-x)^{a-2}\,dx = \int_{0}^{1}x^{a-2}\,dx = \frac{1}{a-1}.$$ Para demostrar que la condición $\Re(a)>1$ es necesaria para la convergencia de la serie, basta con notar que el producto de Euler para la función $\Gamma$ da: $$\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+a+1)}=\Theta\left(\frac{1}{n^a}\right)$$ por lo tanto, el criterio para la convergencia de la serie armónica generalizada se aplica.

Answer 2

No sé mucho sobre la Función Gamma y la suma bajo el integral así que aquí hay una prueba más elemental.

• Si $a > 0$ tenemos $\ln a_n=-(\ln (1+\frac{a}{1})+\ln (1+\frac{a}{2})+\dots+\ln (1+\frac{a}{n}))$ y usando

$$x\ge\ln(1+x)\ge x-\frac{x^2}{2}$$

(para $x > 0$ demostrado usando función monótona) tenemos

$$-a\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}\le\ln a_n\le-a\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}+\frac{a^2}{2}\sum_{i=1}^n\frac{1}{n^2}\le-a\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}+C$$

(donde $C=\frac{a^2}{2}\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n^2}$) Luego usando el hecho de que:

$$\ln(n+1)=\int_1^{n+1}\frac{1}{x}dx\leq\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}\leq1+\int_1^{n}\frac{1}{x} dx=1+\ln(n)$$

tenemos

$$e^{-a(1+\ln n)}\le a_n\le e^{C-a(\ln(n+1))}$$

o

$$e^{-a}n^{-a}\le a_n\le e^C(n+1)^{-a}$$

Dado que $a_n$ es positivo, la serie converge si y solo si $a>1$

• Si $a\le 0$ entonces con $n\ge |a|$ tenemos que $|a_n|$ aumenta y no cambia de signo así que $\lim_{n\rightarrow\infty}\sup |a_n|\ne 0$ entonces la suma diverge.