Un problema de evaluación de una integral

Question

Cómo probar que$$\int_{0}^{1}(1+x^n)^{-1-\frac{1}{n}}dx=2^{-\frac{1}{n}}$ $ He intentado dejar$t=x^n$, y luego convertirlo en una función beta, pero he fallado. ¿Hay alguna sugerencia o solución? Gracias por la atención.

Answer 1

El cambio de la variable$t=x^{-n}$ produce$\mathrm dt=-nx^{-n-1}\mathrm dx$, es decir,$\mathrm dx=-\frac1nt^{-1-1/n}\mathrm dt$. Por lo tanto, la integral es $$ \ int_1 ^ { \ infty} \ frac1n \ frac {\ mathrm dt} {1 t) ^ {1 1 / n}} = \ left [\ frac {-1} (1 t) ^ {1 / n}} \ right] _1 ^ { \ infty} = \ frac1 {2 ^ {1 / n}}. $$

Answer 2

Dejar $x=(\tan{t})^{2/n}$. Entonces la integral se convierte en

ps