¿Por qué la definición del límite funcional implica un punto límite?

Question

Esta puede ser una pregunta impar, y no estoy seguro de si este tipo de preguntas son del todo apreciadas en la comunidad matemática. Pero dada la definición del límite funcional:

Sea $f: A \to \mathbb{R}$ y que $c$ sea un punto límite del dominio $A$ . Decimos que $\lim_{x \to c} f(x)=L$ siempre que, para todos $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ de forma que siempre que $0<|x-c|< \delta$ (y $x \in A$ ) se deduce que $|f(x)-L|< \epsilon$ .

¿por qué $c$ ¿tiene que ser un punto límite? Entiendo que lo anterior es sólo una definición y podemos definir lo que queramos. Pero, después de haber pasado por todo un capítulo de límites funcionales y continuidad, todavía no he descubierto qué iría mal si $c$ no era un punto límite.

Answer 1

Si $c$ no es un punto límite de $A$ entonces para todo lo suficientemente pequeño $\delta > 0$ el conjunto $\{ x \in A : 0 < \lvert x-c\rvert < \delta\}$ está vacía, y la condición

$$(x\in A \land 0 < \lvert x-c\rvert < \delta) \implies \lvert f(x) - L\rvert < \varepsilon$$

se satisface vacuamente para cada $L$ . Por tanto, el límite no sería único si no exigiéramos $c$ sea un punto límite de $A$ .

Answer 2

Una propiedad importante de los límites es que, si existe un límite, su valor es único.

En concreto, debe haber como máximo un número $L$ tal que $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in A, 0 < |x-c| < \delta \implies |f(x)-L| < \epsilon$ .

Supongamos $c$ no es un punto límite de $A$ . Entonces, existe algún radio $r$ tal que el intervalo $(c-r,c+r)$ no contiene puntos en $A$ que no sean $c$ sí mismo.

Entonces, para cualquier función $f$ Elige tu número favorito $L$ . Sea $\epsilon > 0$ sea arbitraria y elija $\delta = r$ . Entonces, como no hay puntos $x \in A$ tal que $0 < |x-c| < \delta = r$ la declaración $\forall x \in A, 0 < |x-c| < \delta \implies |f(x)-L| < \epsilon$ es "vacuamente cierto".

Por lo tanto, $\displaystyle\lim_{x \to c}f(x) = L$ es válida para cualquier número $L$ que elegiste, es decir $\displaystyle\lim_{x \to c}f(x)$ puede ser cualquier número.

Por eso insistimos en $c$ siendo un punto límite de $A$ .

Answer 3

Para que la definición sea razonable, queremos que para cada $\delta>0$ hay $x\in A$ para que $0<|x-c|<\delta$ . Esta condición significa exactamente que $c$ es un punto límite de $A$ .

Answer 4

Para ver dónde van mal las cosas $A=\mathbb{N}$ y alguna función $f:A\to\mathbb{R}$ y decir que quieres probar que $$ \lim_{x\to c}f(x)=L $$

donde $c\in A$ es un número natural.

Sea $\epsilon>0$ y elija $\delta(\epsilon)=\delta=\frac{1}{2}$

Efectivamente - Para cada $x\in A$ s.t $0<|x-c|<\frac{1}{2}$ lo tenemos que $|f(x)-L|<\epsilon$

Esto es cierto vacuamente porque no existen tales $x\in A$ que satisfagan $0<|x-c|<\frac{1}{2}$ por lo que obtenemos $$ \lim_{x\to c}f(x)=L $$

independientemente de lo que $L$ es, lo que no es razonable