Encuentra la función de generación de esta secuencia

Question

Necesito encontrar a la generación de la función de la secuencia de $c_n = (a_0, a_1, a_2, \ldots)$, donde: $$a_n = \begin{cases} 2^{n/2} & \text{if %#%#% is even,} \\ 1 & \text{if %#%#% is odd.} \end{casos}$$

He escrito a cabo los primeros términos de la secuencia: $n$$n$a_n = (1, 0, 2, 0, 4, 0, 8, 0, 16, 0, ...)$$(1, 1, 2, 1, 4, 1, 8, 1, 16, 1, \ldots)$b_n = (0, 1, 0, 1, 0, 1, ...).$
La primera secuencia, $ and have noticed that it seems to be a combination of the sequences $, tiene la función de la generación de $ and $$ y $a_n$ tiene la función de la generación de $$x\sum_{n = 0}^\infty(2x)^n = \frac{x}{1 - 2x}$$

Por lo tanto, que intuitivamente me pensaba que $b_n$ y que la generación de la función de $$x\sum_{n = 0}^\infty x^{2n} = \frac{x}{1 - x^2}.$ fue igual a la suma de las funciones de generación de $c_n = a_n + b_n$$c_n$, que es igual a: $a_n$$

Sin embargo, cuando traté de convertir $b_n$ de regreso a una forma que implica una infinita suma, no me dan la secuencia que yo esperaba ($$\frac{x}{1 - 2x} + \frac{x}{1 - x^2} = \frac{-x^3 - 2x^2 + 2x}{(1-2x)(1-x^2)}. \space\space (*)$).

Agradecería ayuda con la solución de este problema.

Answer 1

El problema es su primera función generadora. Lo que ha escrito es la función de generación de la secuencia$(0,1,2,4,8,16,...)$. La función de generación correcta es$$\sum_{n = 0}^\infty2^nx^{2n} = \frac{1}{1 - 2x^2}$ $.

Una vez que haya hecho esta corrección, su segundo paso debería trabajar en producir la función de generación correcta para toda la secuencia.

Answer 2

Vamos a configurar$A(X)$ la función de generación cuyos coeficientes son$(a_n)$. Afirmo que:

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Ahora la última función de generación aparece como un producto Cauchy en la variable$$A(X)-\frac{1}{1-X}=\sum_{n=1}^{\infty}(2^n-1)X^{2n}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=0}^{n-1}2^kX^{2n} $ así:

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Ahora :

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