Perfecto mapa $p:\ X\to Y$, $Y$ compacto implica $X$ compacto

Question

Me asignaron las siguientes tareas problema para un curso de introducción a la topología:

Deje $p:\ X\to Y$ ser un continuo cerrado surjective mapa tal que $p^{-1}(\{y\})$ es compacto para cada una de las $y\in Y$. Mostrar que si $Y$ es compacto, entonces $X$ es compacto.

Mi pregunta es, son los supuestos en los que $p$ ser continua y surjective incluso necesario para que el resultado se mantenga? He hecho lo siguiente:

Deje $U$ ser un conjunto abierto que contiene a $p^{-1}(\{y\})$. Desde $X-U$ es cerrado, $p(X-U)$ es cerrado en $Y$. A continuación, $W=Y-p(X-U)$ es un conjunto abierto que contiene a $y$. Desde $(X-U)\cap p^{-1}(W)=\varnothing$, $p^{-1}(\{y\})\subset p^{-1}(W) \subset U$.

Deje $\{U_\alpha\}$ ser una cubierta abierta de a $X$. A continuación,$p^{-1}(\{y\})\subset \bigcup_{k=1}^{N}U_k$. Para cada una de las $y\in Y$, definir $W_{y}$ como se indicó anteriormente; a continuación, $\{W_y\}$ es una cubierta abierta de a $Y$, por lo que puede ser cubierto por $W_{y_1},...,W_{y_m}$, e $p^{-1}(\{y_j\})\subset p^{-1}(W_{y_j})\subset \bigcup_{k=1}^{N}U_k$. Desde $X=p^{-1}(Y)$, $X=\bigcup_{j=1}^{n} p^{-1}(W_{y_j})$. Desde cada una de las $p^{-1}(W_{y_j})$ está cubierto por un número finito de $U_k$, por lo que es $X$, por lo que es compacto.

Si prescindir de surjectivity de $p$, lo único que sucede es que el $p^{-1}(\{y\})$ puede estar vacío, pero, a continuación, $p^{-1}(\{y\})\subset p^{-1}(W)$ mantiene vacuously, y el conjunto vacío es muy compacta.

Si $p$ es continuo, $p^{-1}(W)$ está abierto, pero yo no uso el hecho de que está abierta a todo en mi prueba.

Sé que todos los 3 supuestos de hacer un mapa "perfecto", de modo que puede ser por eso que se han mencionado, pero podemos prescindir de la continuidad y de la surjectivity?

Gracias.

Answer 1

pero, ¿podemos prescindir de la continuidad y de la surjectivity?

Sí. Su - correcto - la prueba se utiliza sólo el closedness de $p$ a mostrar que todos los $y\in Y$ ha abierto un barrio de $W_y$ tal que $p^{-1}(W_y)$ está cubierto por un número finito de la $U_\alpha$, y desde $Y$ está cubierto por un número finito de $W_y$, lo que sigue es que $X$ está cubierto por un número finito de $U_\alpha$.

Si se puede demostrar algo sin el uso de algunos de los supuestos en el enunciado del teorema, estas premisas, a continuación, innecesarios para llegar a la conclusión.