Secciones de un paquete

Question

¿Me gustaría que alguien me explique por qué en general $ \Gamma ( T^*M \otimes TM ) = \Gamma ( T^*M ) \otimes_{\mathcal{C}^{\infty} ( M )} \Gamma ( TM ) $ $ \Gamma ( T^*M ) $ es un conjunto de secciones del paquete $ T^*M $? Muchas gracias.

Answer 1

Para un finito dimensional espacio vectorial $V$, hay un isomorfismo canónico $$V^*\otimes V\simeq\mathrm{End}(V)$$ that sends $\phi\otimes v$ to $\lbrace x\mapsto \phi(x)v \rbrace$. This allows one to define an obviously $C^{\infty}(M)$-bilinear map $\Gamma(T^*M)\times\Gamma(TM)\a\Gamma(\mathrm{End}(TM))$ so a map $$\Gamma(T^*M)\otimes_{C^{\infty}(M)}\Gamma(TM)\to\Gamma(\mathrm{End}(TM)).$$ La pregunta es si este es un isomorfismo.

No es un simple argumento en el caso de que la base del colector es compacto. Considere la posibilidad de un número finito de la cubierta de $M$ gráfico dominios $(U_1,\dots,U_m)$. Estos proporcionan una cubierta abierta que trivializa la tangente y la cotangente paquetes. Tomar una partición de la unidad $(\chi_1,\dots,\chi_m)$ subordinada a esta cubierta. Ahora trabajo en una de esas gráfico de dominios, decir $U=U_a$ con gráfico de $\phi=\phi_a$. El paquete de endomorphisms se ha trivializado por la base local de secciones suaves $dx^i\otimes \frac{\partial}{\partial x^j}:U\to\mathrm{End}(TM)|_U$, y así cada endomorfismo de $TM$ localmente puede ser expresado (exclusivamente) como una suma con coeficientes en $C^{\infty}(U)$ $$A|_U=a_i^j~dx^i\otimes \frac{\partial}{\partial x^j}$$ Ahora puede definir la inversa mapa $$\Gamma(\mathrm{End}(TM))\to\Gamma(T^*M)\otimes_{C^{\infty}(M)}\Gamma(TM)$$ by sending $Un$ to the sum of the above things multiplied by the $\chi_a$ para activar los locales de las secciones a las secciones suaves.

En el caso de $M$ no es compacto, se puede utilizar un teorema de topología, que afirma que cada paquete de más de un colector de dimensión $n$ puede ser banalizado más de un número finito de la cubierta de $M$ con $n+1$ abierto conjuntos, y por encima de la construcción lleva a través de la palabra para la palabra, y todavía funciona para otros paquetes: $$\Gamma(E\otimes F)\simeq \Gamma(E)\otimes_{C^{\infty}}\Gamma(F)$$