$$\int x^5 e^x\,\mathrm{d}x$$
Hay otra, la manera más eficiente para resolver esta integral que es la no integración por partes?
Respuestas
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Zlatko
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182
Hay una muy eficiente operador de enfoque.
Deje $D$ ser el operador de diferenciación, y $1/D$ su inversa (indefinido de integración). La utilización de la regla (ver apéndice) que $${1\over D}e^{ax}f(x)=e^{ax}{1\over D+a}f(x)$$ we get $$\begin{align}\int x^5 e^x\,\mathrm{d}x={1\over D}x^5e^x&=e^x\frac{1}{1+D}x^5 \\&=e^x\left(1-D+D^2-\cdots\right)x^5 \\ &=e^x\left(x^5-5x^4+20x^3-60x^2+120x-120\right)\end{align}$$
Apéndice: la Prueba de la Regla
En primer lugar, tomamos nota de que $$D\,e^{ax}f(x)=ae^{ax}f(x)+e^{ax}f'(x)=e^{ax}(D+a)f(x).$$ Therefore $$D\left[e^{ax}{1\over D+a}f(x)\right]=e^{ax}(D+a)\frac{1}{D+a}f(x)=e^{ax}f(x)=D\left[{1\over D}e^{ax}f(x)\right]$$
y la regla es "básicamente" demostrado :) ... todavía Hay algunos puntos a aclarar (que justifica el tratamiento de la $D$ como un operador, el uso del operador de "el poder de la serie", las constantes de integración, etc.) pero esa es la esencia del método.
Oli
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89
El siguiente es un pariente cercano de la integración por partes. Nos deja adivinar que la respuesta es $x^5e^x$. Diferenciar a ver si tenemos suerte. Llegamos $x^5e^x+5x^4e^x$. Demasiado malo!
Pero tal vez podamos arreglar las cosas restando $5x^4e^x$, por lo que nuestro siguiente conjetura es $x^5e^x -5x^4e^x$. Diferenciar. Llegamos $x^5e^x -20x^3e^x$. Tal vez podamos arreglar las cosas mediante la adición de $20x^3e^x$. Así que nuestro siguiente conjetura es $x^5e^x-5x^4e^x +20x^3e^x$. De continuar. Es pronto.
Comentario: La idea general funciona bien para $\sin(5x)e^{-3x}$, un nivel de integración por partes el problema que me causa una gran cantidad de problemas, porque de todos los signos menos. Pero si hacemos un adecuado adivinar, que rápidamente puede llegar a la respuesta.
Romulo Ceccon
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188
Usted puede adivinar que la antiderivada tiene la forma
$$ (a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0)e^x + C, $$
luego se diferencian esto para obtener
$$ \Bigl(a_5 x^5 + (5a_5 + a_4) x^4 + (4a_4 + a_3) x^3 + (3a_3 + a_2) x^2 + (2a_2 + a_1) x + a_1 + a_0\Big)e^x. $$
Ajuste del polinomio factor igual a $x^5$ hace que el sistema de ecuaciones lineales
$$ \begin{align} a_5 &= 1, \\ na_n + a_{n-1} &= 0, \quad n = 1,2,3,4,5, \end{align} $$
que se puede resolver de forma iterativa para los coeficientes $a_n$ encontrar que
$$ a_5 = 1, \quad a_4 = -5, \quad a_3 = 20, \quad a_2 = -60, \quad a_1 = 120, \quad a_0 = -120. $$
En general, usted puede utilizar este método para mostrar que la antiderivada de $x^n e^x$ es
$$ e^x \sum_{k=0}^{n} a_k x^k + C, $$
donde
$$ a_k = (-1)^{n-k}\frac{n!}{k!}. $$
Matthew Scouten
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2518
Otro enfoque que se presenta todas las integrales de $\int x^n e^x\; dx$ a la vez es la generación de funciones. Deje $F_n(x) = \int x^n e^x\; dx$ (no te preocupes por las constantes de integración). La exponencial de la generación de la función de esta secuencia es $$ g(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{F_n(x)}{n!} t^n $$ Tenga en cuenta que $g(t,0) = 1$. El intercambio de la suma y la integral (suponemos que podemos hacer esto):
$$g(t,x) = \int \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!} t^n e^x \; dx = \int e^{xt + x}\; dx = \dfrac{e^{tx+x}}{t+1}$$ Ahora $$\dfrac{1}{t+1} e^{tx+x}= e^x \sum_{j=0}^\infty (-1)^j t^j\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(t x)^k}{k!}$$ así que por igualando los coeficientes de $t^n$ a ambos lados obtenemos $$ \dfrac{F_n(x)}{n!} = e^x \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \dfrac{x^k}{k!}$$
