¿Qué es 4 veces más probable que el 80%?

Question

Hay un 80% de probabilidades de que se produzca un determinado resultado, y obtenemos una nueva información que significa que ese resultado es 4 veces más probable que se produzca.

¿Cuál es la nueva probabilidad en porcentaje y cómo se calcula?

Según recuerdo, la pregunta se planteó así:

Supongamos que hay un estudiante, Tom W, si se le pide que estime la probabilidad de que Tom sea un estudiante de informática. Sin ninguna otra información sólo tendrías la tasa base para ir por (porcentaje del total de estudiantes matriculados en informática) supongamos esta tasa base es del 80%.

Luego se le da una descripción de la personalidad de Tom W, suponga que a partir de esta descripción usted estima que Tom W tiene 4 veces más probabilidades de estar matriculado en informática.

¿Cuál es la nueva probabilidad de que Tom W se matricule en informática informática.

La respuesta que se da en el libro es 94,1%, pero no pude calcularla.

Otro ejemplo que aparece en el libro es que, con un tipo base del 3%, es 4 veces más probable que se indique el 11%.

Answer 1

La forma más razonable de hacer coincidir la respuesta en el libro sería definir la probabilidad como la relación entre el éxito y el fracaso (también conocida como probabilidades): $$ q=\frac{p}{1-p} $$ entonces la probabilidad en función de las probabilidades es $$ p=\frac{q}{1+q} $$ En su caso, las probabilidades son $4:1$ así que $4$ veces más probable sería $16:1$ que tiene una probabilidad de $$ \frac{16}{17}=94.1176470588235\% $$ Esto coincide con el $3\%$ a $11.0091743119266\%$ transformación, también.

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Regla de Bayes

Regla de Bayes para un solo evento dice que $$ O(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)}{P(B\mid\neg A)}\,O(A) $$ donde las probabilidades de $X$ se define como antes $$ O(X)=\frac{P(X)}{P(\neg X)}=\frac{P(X)}{1-P(X)} $$ Esto es exactamente de lo que se habla en la adición posterior a la pregunta, donde se da que $$ \frac{P(B\mid A)}{P(B\mid\neg A)}=4 $$

Answer 2

El libro de Daniel Kahneman menciona el razonamiento bayesiano. Una respuesta utilizando el razonamiento bayesiano es la siguiente:

Dejemos que $C$ sea el caso de que Tom sea compsci, $N$ ser el caso de que tenga una personalidad "nerd".

Se nos da $P(N|C)/P(N|\neg C)= 4$ lo que implica que $P(N|\neg C) = P(N|C)/4$ .

Por el Teorema de Bayes (y utilizando el teorema de la probabilidad total para ampliar el denominador)

$$\begin{eqnarray*} P(C|N) &=& \frac{P(N|C) P(C)}{ P(N)} \\ &=& \frac{P(N|C) P(C)}{P(N|C)P(C) + P(N|\neg C) P(\neg C)} \\ &=& \frac{P(N|C) P(C)}{P(N|C)P(C) + 0.25 P(N|C)P(\neg C)} \\ &=& \frac{P(C)}{P(C) + 0.25 P(\neg C)} \\ &=& \frac{0.8}{0.8 + 0.25 \times 0.2} \\ &\approx& 0.9411765 \end{eqnarray*}$$

Un razonamiento similar en el caso del 3% lleva a $P(C|N) = 0.03 / (0.03 + .25*.97) \approx 0.1100917$ .

Answer 3

La declaración del contexto (en mis palabras) es la siguiente:

Si cree que $80\%$ de los estudiantes de posgrado se matriculan en informática (tasa base), y también cree que la descripción de Tom W es cuatro veces más probable para un estudiante de posgrado en informática que para un estudiante de posgrado en otros campos, entonces la regla de Bayes dice que debe creer que la probabilidad de que Tom W sea informático es ahora $\approx94.1\%$ .

A continuación se explica cómo realizar el razonamiento bayesiano. Sea $\rm CS$ ser el caso de que un estudiante esté matriculado en informática, y $\rm desc$ el caso de que [descripción] es válido para un estudiante de posgrado. Entonces

• El tipo básico dice que $P(\rm CS)=80\%$ .
• La declaración relativa dice que $P({\rm desc|CS})=4P({\rm desc|\neg CS})$

Así, $P(\neg{\rm CS})=0.2$ y $P({\rm desc|\neg CS})=0.25P({\rm desc|CS})$ . El razonamiento bayesiano dice que

$$\begin{array}{ll} P({\rm desc}) & = P({\rm desc~\&~CS})+P({\rm desc~\&~\neg CS}) \\ & =P({\rm desc|CS})P({\rm CS})+P({\rm desc|\neg CS})P(\neg{\rm CS}) \\ & =(0.8+0.25\cdot0.2)P({\rm desc|CS}) \\ & =0.85P({\rm desc|CS}) \end{array}$$

La regla de Bayes dice que

$$\begin{cases} P({\rm desc|CS})= \frac{P({\rm desc~\&~CS})}{P({\rm CS})} \\ \phantom{blah} \\ P({\rm CS|desc})=\frac{P({\rm CS~\&~desc})}{P({\rm desc})} \end{cases}$$

Por lo tanto,

$$P({\rm CS|desc})=\frac{P({\rm desc|CS})P({\rm CS})}{P({\rm desc})}=\frac{0.8}{0.85}=0.9411764705882352\dots\approx94.1\% $$

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Del mismo modo, si el tipo básico era $3\%$ en lugar de $80\%$ el cálculo sería el siguiente:

$$\begin{array}{ll} P({\rm desc}) & = P({\rm desc~\&~CS})+P({\rm desc~\&~\neg CS}) \\ & =P({\rm desc|CS})P({\rm CS})+P({\rm desc|\neg CS})P(\neg{\rm CS}) \\ & =(0.03+0.25\cdot0.97)P({\rm desc|CS}) \\ & =0.2725P({\rm desc|CS}) \end{array}$$

$$P({\rm CS|desc})=\frac{P({\rm desc|CS})P({\rm CS})}{P({\rm desc})}=\frac{0.03}{0.2725}=0.1100917431192660\dots\approx11\% $$

Answer 4

Bueno, yo diría que $80\%$ la posibilidad de éxito significa el fracaso $1$ de $5$ tiempos. $4$ veces más probable significa el fracaso sólo $1$ de $20$ veces, por lo que la nueva probabilidad sería $95\%$ .

Answer 5

La única manera que veo de darle sentido a esto es dividir por $4$ la probabilidad de que no ocurra. Aquí obtenemos $20/4=5$ por lo que la nueva probabilidad es $95\%$ .