Distancia/similitud entre dos matrices

Question

Estoy en el proceso de escribir una aplicación que identifica la matriz más cercana de un conjunto de matrices cuadradas $M$ a una matriz cuadrada dada $A$ . Lo más cercano puede definirse como lo más similar.

Creo que encontrar la distancia entre dos matrices dadas es un enfoque justo ya que la menor distancia euclidiana se utiliza para identificar la cercanía de los vectores.

Encontré que la distancia entre dos matrices ( $A,B$ ) podría ser calculado usando el La distancia de Frobenius $F$ :

$$F_{A,B} = \sqrt{trace((A-B)*(A-B)')} $$

donde $B'$ representa la transposición conjugada de B.

Tengo los siguientes puntos que necesito aclarar

• ¿Es la distancia entre las matrices una medida justa de la similitud?
• Si se utiliza la distancia, ¿es la distancia de Frobenius una medida justa para este problema? ¿Alguna otra sugerencia?

Answer 1

Algunas sugerencias. Demasiado largo para un comentario:

Como dije, hay muchas maneras de medir la "distancia" entre dos matrices. Si las matrices son $\mathbf{A} = (a_{ij})$ y $\mathbf{B} = (b_{ij})$ entonces algunos ejemplos son: $$ d_1(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{ij} - b_{ij}| $$ $$ d_2(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij} - b_{ij})^2} $$ $$ d_\infty(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \max_{1 \le i \le n}\max_{1 \le j \le n} |a_{ij} - b_{ij}| $$ $$ d_m(\mathbf{A}, \mathbf{B}) = \max\{ \|(\mathbf{A} - \mathbf{B})\mathbf{x}\| : \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n, \|\mathbf{x}\| = 1 \} $$ Estoy seguro de que hay muchos otros. Si buscas "normas de la matriz", encontrarás mucho material. Y si $\|\;\|$ es cualquier norma de la matriz, entonces $\| \mathbf{A} - \mathbf{B}\|$ te da una medida de la "distancia" entre dos matrices $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ .

O, podrías simplemente contar el número de posiciones en las que $|a_{ij} - b_{ij}|$ es mayor que algún número de umbral. Esto no tiene todas las propiedades agradables de una distancia derivada de una norma, pero aún así podría ser adecuado para sus necesidades.

Estas medidas de distancia tienen todas propiedades algo diferentes. Por ejemplo, la tercera que se muestra arriba le dirá que dos matrices están muy separadas aunque todas sus entradas sean iguales, excepto por una gran diferencia en una posición.

Answer 2

Si tenemos dos matrices $A,B$ . La distancia entre $A$ y $B$ puede ser calculado usando valores singulares o $2$ normas.

Puede usar Distance $= \vert(\text{fnorm}(A)-\text{fnorm}(B))\vert$ donde fnorm = raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de todos los valores singulares.