¿En general, Cuándo tiene que el $f(\sup(X)) = \sup f(X)$?

Question

Deje $f: [-\infty, \infty] \to [-\infty, \infty]$.

Qué condiciones debemos imponer en $f$, de modo que la siguiente afirmación es verdadera?

$$\forall \ X \subset [-\infty, \infty], \sup f(X) = f(\sup X)$$

Si eso no tiene mucho sentido, entonces, por alguna función con ciertas condiciones, ¿qué tipo de conjuntos de $X$ satisfacer $f(\sup X) = \sup f(X)$?

Algunos antecedentes de la cuestión:

Mientras que una prueba, yo estaba a punto de intercambio $\sqrt{\cdot}$$\sup$, pero pronto me di cuenta de que ese paso probablemente necesita escrutinio. Yo todavía no sé si ese paso es válida, y me gustaría saber qué tipo de funciones de satisfacer el requisito. Supongo que $f$ es una extensión real de los valores de la función para la posibilidad de $\sup = \infty$.

Answer 1

Creo que la suficiente y necesaria condición para $f$ es que es no decreciente, de izquierda continua (es decir, para todos $x_0$, $\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0)$) y $f(-\infty)=-\infty$. La última condición es necesaria para el estudio de $X=\varnothing$. La primera condición es necesaria como para $X=\{a,b\},a\leq b$ necesitamos $\max\{f(a),f(b)\}=\sup f(X)=f(\sup X)=f(b)$, es decir,$f(a)\geq f(b)$. La segunda condición es necesaria para que cuando tomamos $X=(-\infty,x_0)$. Ya sabemos $f$ es no decreciente, $\sup f(X)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$, y debe ser igual a $f(\sup X)=f(x_0)$.

Como para la suficiencia, asumir las tres condiciones anteriores. Para $X=\varnothing$ $X=\{-\infty\}$ esto es evidente por lo que asumen $\sup X:=x_0>-\infty$. Es fácil ver que a la izquierda la continuidad implica $\sup f((-\infty,x_0))=f(x_0)$ (gracias a la monotonía de la función), así que sólo necesitamos demostrar $\sup f((-\infty,x_0))=\sup f(X)$. Si $x_0\in X$, esto es evidente a partir de monotonía. Claramente $\sup f((-\infty,x_0))\geq\sup f(X)$, ya que el ex $\sup$ es en un (posiblemente) más grande. Ahora, tome cualquiera de las $a\in (-\infty,x_0)$. Entonces existe un $b\in X$ tal que $a<b<x_0$ (desde $a$ es menor que $\sup X$). Ahora $f(b)\geq f(a)$. Se sigue de esto que cada elemento de a $f((-\infty,x_0))$ no es más grande que el elemento $f(X)$. Por lo tanto $\sup f((-\infty,x_0))\leq\sup f(X)$, lo $\sup f((-\infty,x_0))=\sup f(X)$, como queríamos.