Cálculo de la suma: $\sum_{k=1}^n \frac{2^{2^{k-1}}}{1-2^{2^k}}$

Question

¿Cómo puedo solucionar esto? $$\sum_{k=1}^n \frac{2^{2^{k-1}}}{1-2^{2^k}}$$

Realmente intenté dirección a muchos, pero no pudo. Por favor, dame alguna dirección derecha.

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$$\sum_{k=1}^n \frac{2^{2^{k-1}}}{1-2^{2^k}} = \sum_{k=1}^n \frac{2^{2^{k-1}}}{(1-2^{2^{k-1}})(1+2^{2^{k-1}})}=\cdots$$

Answer 1

Que %#% $ #%

que no es más que suma telescópica

Así $$S = \sum_{k=1}^n \frac{2^{2^{k-1}}}{1-2^{2^k}} = \sum^{n}_{k=1}\bigg[\frac{(1+2^{2^{k-1}})-1}{1-2^{2^k}}\bigg] = \sum^{n}_{k=1}\bigg[\frac{1}{1-2^{2^{k-1}}}-\frac{1}{1-2^{2^k}}\bigg]$ $