¿Por qué nos importan las formas diferenciales? (Confundido acerca de la construcción)

Question

Por lo que se dice que las formas diferenciales proporcionar una coordenada libre de enfoque multivariable de cálculo. Bueno, en resumen yo no entiendo esto, a pesar de la lectura de muchas fuentes. Voy a explicar cómo todo se parece a mí.

Vamos a pegarse a $\mathbb{R}^2$ por el bien de la simplicidad (tal vez esta es la caída hacia abajo..). Recogiendo algunos de punto de $P=(x,y)\in\mathbb{R}^2$, se puede preguntar acerca de la derivada direccional de una función $f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$, en la dirección $v=a\vec{i}+b\vec{j}$. Este va a ser $$(\nabla \cdot v)|_P(f)=a\dfrac{\partial f}{\partial x}|_P+b\dfrac{\partial f}{\partial y}|_P =\underbrace{ (a\dfrac{\partial }{\partial x}|_P+b\dfrac{\partial }{\partial y}|_P)}_\text{$w_P$ }(f)$$ Where we can think of $w_P$ as an element of the tangent space at $P$. Ahora, esto en sí mismo es un poco raro, ¿por qué tienen los operadores diferenciales como base para algo geométricas como un espacio de la tangente a un colector? En cualquier caso, debemos aplicar estos vectores a una función definida en nuestro colector, y obtenemos el valor queríamos que fuera.

Por lo que se preocupa acerca de formas diferenciales? Acabamos de hacer todo esto sin ellos. Podríamos haber hecho esto mediante el cálculo de $\mathrm{d}f$, en alguna base $\mathrm{d}x, \mathrm{d}y$ (que es bastante confuso) y, a continuación, el cálculo de $\mathrm{d}f(w_P)$, pero lo que no ganamos en hacerlo de esta manera?

He mencionado creo que el $\mathrm{d}x$'s son confusas. Bien, $\mathrm{d}x$ es sólo la función $\mathrm{d}x(\frac{\partial}{\partial x})=1$ y 0 para cualquier otro operador diferencial - ¿por qué escribo esto como $\mathrm{d}x$, que siempre había sido previamente utilizado para referirse a un incremento infinitesimal en x?

Ahora puedo entender el cuidado del doble del espacio de la tangente. Estamos combinando un vector en el espacio de la tangente con algo y estamos llegando a un escalar fuera de él, este algo debe entonces probablemente pertenecen a la doble espacio. Pero si estamos pensando sólo el vector, entonces la función de $f$ sobre el colector debe ser codificada por la 1-forma, ¿verdad? Así, podemos tener 1-formas que no son derivados de cualquier función en el colector - ¿qué significa para combinar estas formas con los vectores de tangentes?

Y por último, si estamos escribiendo todos nuestros formularios en términos de $\mathrm{d}x$'s, etc., donde el $x$'s son exactamente las coordenadas del colector, entonces, ¿cómo exactamente hemos escapado de la dependencia de las coordenadas? Todavía estamos esencialmente el cálculo con respecto a un determinado sistema de coordenadas como de costumbre cálculo multivariable!

Answer 1

También ha pedido a un buen número de preguntas. Voy a responder a la una en el título.

El punto es que las formas diferenciales son "las cosas que se pueden integrar en los colectores". Los colectores son objetos más generales de abrir los subconjuntos de a $\Bbb R^n$, y en cierto sentido uno de los motivos por los que uno quiere introducir formas.

Supongamos que usted tiene una 1-forma $\alpha$ en un colector $M$, y una suave curva de $\gamma: [0,1] \to M$. Entonces podemos definir la integral de $\alpha$ $\gamma$ - y esto no depende de la parametrización de $\gamma$. Es decir, si yo precomponer con una(n orientación de la conservación) diffeomorphism $[0,1] \to [0,1]$, la integral seguirá siendo el mismo.

Se podría objetar "Pero ya sé cómo hacerlo para funciones. Sólo puedo tomar una integral de línea." Vamos a escribir la fórmula estándar para la integral de línea en $\Bbb R^n$: $\int_\gamma f := \int_0^1 f(\gamma(t))\|\gamma'(t)\|$. Este es de hecho independiente de reparameterizations. Pero la clave aquí es que el $\|\gamma'(t)\|$ plazo que tuvimos que presentar. 1) Cuando se integra una 1-forma, un término que realmente no se muestran. Esto es deseable, porque... 2) Cuando estás en un colector de que no es un subconjunto de a $\Bbb R^n$, ya no tiene una forma de escribir $\|\gamma'(t)\|$ sin introducir extra estructura (ser capaz de medir cómo de grande un vector tangente es casi exactamente de la misma como una métrica de Riemann). No es tan deseable introducir esta estructura si todo lo que estamos interesados es el colector.

Hay más cosas que llama $k$-formas (que existen en cualquier colector de dimensión al menos $k$). Estos también están definidos casi con precisión, de modo que "$k$-las formas son las cosas que usted puede integrar más de $k$-dimensiones submanifolds". De nuevo, esto es independiente de cualquier número de cosas, por ejemplo local de las parametrizaciones de la submanifold. Cuando usted ve la construcción, verás que están definidos como "secciones de la $k$th potencia exterior $\Lambda^k T^*M$". Voy a justificar este por $k$ la dimensión del colector. El punto de esto es que la forma en que el $n$-formulario de cambios en virtud de una transformación de coordenadas es precisamente por el determinante del Jacobiano de la transformación de coordenadas. Ahora, si escribe la fórmula para la integración de una función después de hacer un cambio de coordenadas hay un $|\det J(\varphi)|$ plazo en la integral. Así que a preparar las cosas de forma tal que la integral de una diferencial de la forma se define independiente de (local) la elección de coordenadas, que espero que justifica mi afirmación de que formas diferenciales están construidos para ser de las cosas que integrar.

Answer 2

Formas diferenciales son una adecuada generalización de la derivación y la integración (i.e de cálculo) para la arbitrarias (en el ámbito de la integración) colectores y de los espacios.

Con el fin de llegar a una generalización (e.g como E. Cartan hizo) se inicia con las definiciones básicas y las operaciones de derivación e integración, cómo afectan el espacio que ellos son parte de y cómo se afectan mutuamente. Digamos que un "cambio metodológico" de una de coordenadas basa en una fórmula de definición, que está restringido en su elección de la representación, a una operativa basada en la definición. (Tenga en cuenta que en dicho esquema el teorema fundamental del cálculo es muy fácil de demostrar y generalizada, e.g generalizada Teorema de Stokes)

Una traducción al inglés de E. Cartan, "EN CIERTOS DIFERENCIAL de las EXPRESIONES Y LA PFAFF PROBLEMA" está disponible aquí (y en el artículo de la wikipedia)

En fin genertalise un particular (coordenadas-dependiente) la representación de estas operaciones, que están relacionados con geométricas entidades (como espacios) de el espacio en sí mismo (por ejemplo, la tangente y la co-el espacio de la tangente) y no de representaciones específicas de estas entidades. Efectivamente es una relación de recurrencia para la construcción de las formas, un $k$ formulario se construye por medio de una operación $d$ $k-1$ formulario y así sucesivamente. En ninguna parte es una representación específica de tomar su lugar. Así, uno realmente puede utilizar estas operaciones y hacer el cálculo, según sea necesario en cualquier colector. Además, como todo buen esquema recursivo debe hacer, $0$ de las formas puede ser identificado con entidades especiales en el espacio y el conjunto de formas diferenciales esquema está bien definido.