Duda sobre prueba que $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}[x]$ son dominios de factorización única

Question

La prueba usual de factorización única en $\mathbb{Z}$ ganancias a través del concepto de MCD (máximo común divisor) de dos números enteros que conduce a la propiedad fundamental de los números primos en $\mathbb{Z}$:

Teorema: Si $p$ es el primer y $a, b \in \mathbb{Z}$ tal que $p\mid ab$ entonces $p\mid a$ o $p\mid b$.

Y este es el resultado que garantiza la unicidad de la factorización. Tenga en cuenta que el mismo procedimiento no se aplica en $\mathbb{Z}[x]$ como no tenemos un concepto de MCD aquí. Así, por ejemplo, no podemos decir que $2, x$ han MCD $1$ porque no podemos encontrar polinomios $p(x), q(x) \in \mathbb{Z}[x]$ tal que $$1 = 2p(x) + xq(x)$$ (contradiction arises when we put $x = 0$ en la ecuación anterior).

El problema es eliminado por considerar polinomios en $\mathbb{Q}[x]$ y luego tenemos el MCD disponible aquí, así que $\mathbb{Q}[x]$ es una única factorización de dominio. A continuación, utilizamos el hecho de que $\mathbb{Z}[x]\subset\mathbb{Q}[x]$ a factorizar elementos de $\mathbb{Z}[x]$ como producto de polinomios en $\mathbb{Q}[x]$ y, a continuación, utilizar lema de Gauss para demostrar que la factorización también se puede hacer uso de polinomios en $\mathbb{Z}[x]$ solamente.

Así pues, parece que la existencia de MCD no es necesario para garantizar la existencia de factorización única. ¿Eso significa que podemos demostrar única factorización en $\mathbb{Z}$ a través de otros medios, más que el enfoque descrito en el principio?

También me gustaría saber si la propiedad de los números primos (mencionadas en el teorema al principio) siempre es una consecuencia de la existencia de la DPC de una manera más general, el ajuste integral de los dominios?

Actualización: en los comentarios, y, en particular, la wiki de enlace con la Mano Lundmark es claro que las ideas de la habitual anillo de enteros han sido generalizada en muchas maneras para dar lugar a la famosa cadena de clase inclusiones (ver wiki enlace en MCD Dominios) y esta cuestión es tal vez una muy ingenuo intento de entender que todos (o algunos) de los que las inclusiones son adecuados.

Actualización: yo estaba un poco indeciso sobre preguntando pregunta relativa a un aparentemente trivial (es decir, única factorización en números enteros y polinomios con coeficientes enteros), pero la forma en que ha sido recibido aquí es mucho más de lo que me esperaba. MSE nunca deja de sorprenderme (y tal vez otros usuarios también)! Gracias a todos los que respondieron a/comentario/charlaban. Yo ahora tienen un montón de comida para el pensamiento (y el estudio).

Answer 1

Así pues, parece que la existencia de MCD no es necesario para garantizar la existencia de factorización única.

Efectivamente no es necesario la existencia de MCD con el fin de demostrar el teorema fundamental de la aritmética. Es suficiente una débil condición, a saber, sólo necesitamos el número cuatro lema, véase por ejemplo, esta respuesta. Este lema en una forma más abstracta de la configuración de dar lugar a dos clases especiales de dominios conocidos como Schreier dominios y pre-Schreier dominios (o Riesz dominios).

Egreg escribió:

Resulta que esta es una de las claves para un dominio único de la factorización. De hecho, un dominio $R$ ha factorización única si y sólo si

1. $R$ tiene el ascendente de la cadena de condición de director ideales;

2. cada elemento irreductible en $R$ es primo.

La primera condición que asegura la existencia de una factorización en un producto de elementos irreductibles; la segunda condición que asegura la unicidad.

Los dominios que satisface la primera condición están llamados a la ACCP dominios, mientras que los dominios de satisfacer la segunda condición se llama AP-dominios (atom $\implies$ prime), donde el átomo=irreductible.

Un resultado importante es la siguiente:

Teorema: Si $R$ es un dominio de la ACCP, a continuación, $R[x]$ es también un ACPP dominio.

Prueba: Este es el teorema de la 17a) en Pete L. Clark notas sobre la factorización de la integral de dominios.

Yo no soy consciente de que cualquier caracterización de los dominios de AP, pero lo que sé es que cada MCD de dominio es un AP-dominio, aún más: tanto Schreier y pre-Schreier los dominios de la AP-dominios y, más exactamente, tenemos la siguiente cadena:

$$\text{GCD-domain} \implies \text{Schreier domain} \implies \text{pre-Schreier domain} \implies \text{AP-domain}.$$

Por lo tanto, tenemos la siguiente caracterización de la única factorización de dominios:

$$\text{UFD} \iff \text{ACCP domain}+\text{Schreier domain}\; (^*)$$

Por otro lado, resulta que el ser una Schreier de dominio se comporta bien bajo el polinomio anillo extensiones, es decir, tenemos las siguientes:

Teorema (Cohn): Si $R$ es un Schreier dominio, entonces también lo es $R[x]$.

Prueba: Este es el teorema 2.7 en el papel de Bezout anillos y sus subrings.

Así que podemos aplicar (*) para los casos particulares de $\Bbb Z$ $\Bbb Z[x]$ de esta manera:

i) Por $\Bbb Z$:

1. Podemos utilizar la inducción (o el bien-principio de orden), para garantizar la existencia de una descomposición en factores primos. Tenga en cuenta que $\Bbb Z$ satisfacer el bien-principio de orden es equivalente a $\Bbb Z$ ser un ACPP dominio.
2. Podemos utilizar el número cuatro lema para garantizar la unicidad.

ii) Por $\Bbb Z[x]$:

1. Desde $\Bbb Z$ satisface la condición de la ACCP, a continuación, $\Bbb Z[x]$ también satisface la condición de la ACCP, así que esto nos dará la existencia de la irreductible de la factorización.

2. Desde $\Bbb Z$ es un Schreier de dominio, a continuación, $\Bbb Z[x]$ es también un Schrier de dominio, por lo que esto garantiza la unicidad.

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Sin embargo, hay poco más que decir. La clásica prueba de: $$D\; \text{UFD} \implies D[x]\; \text{UFD}\; (^{**})$$ usa, como usted señala, Gauss lema: el producto de dos polinomios primitivos es primitivo, pero el resultado anterior no es necesario, ya que podemos prueba (**) sin ella. Por ejemplo, puede comprobar el teorema de 27 de Pete L. Clark notas del citado líneas arriba.

Volviendo a Gauss lema, este resultado da lugar a la clase de los dominios conocidos como GL-dominios, y Anderson y Zafrullah demostrado que están entre la clase de pre-Schreier y AP-dominios. Así que en conclusión, tenemos la cadena:

$$\text{GCD-domain} \implies \text{Schreier domain} \implies \text{pre-Schreier domain}$$ $$\implies \text{GL-domain} \implies \text{AP-domain}.$$

Para obtener más información relacionada con el Schreier, pre-Schreier y GL-dominios puede comprobar estos papeles:

1. M. Zafrullah, En una propiedad de pre-Schreier dominios, Comunicaciones en Álgebra, 15 (1987), 1895-1920.
2. S. McAdam y D. Rush, Schreier Anillos, Boletín de la Sociedad Matemática de Londres, 10 (1978), 77-80.
3. J. Arnold y P. Sheldon, Integral dominios que satisfacer, de Gauss, lema, El de Michigan Matemática Diario, 22 (1975), 39-51.
4. D. Anderson y M. Zafrullah La Schreier de la propiedad y de Gauss lema, Bollettino U. MI, 8 (2007), 43-62.

Answer 2

Hay muchas similitudes entre pasar de $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}[x]$e de $k[x]$ a $k[x,y]$ ($k$ un campo), debido a que tanto $\mathbb{Z}$ $k[x]$ son los principales ideales de dominios.

Uno lo puede ver por la "unificación" de Gauss lema.

Teorema. (General de Gauss lema) Si $R$ es una única factorización de dominio con el cociente de campo $Q$ $f(x)\in R[x]$ es un polinomio primitivo que los factores en $Q[x]$, $f$ también factores en $R[x]$.

Un polinomio distinto de cero es primitivo si el mayor divisor común de sus coeficientes es $1$.

Pero lo que es un máximo común divisor? En general, un elemento $d$ de un dominio es un máximo común divisor (MCD) de $a$ $b$ si

• $d$ divide tanto a a$a$$b$;
• para todos los $c$ si $c$ divide tanto a a$a$$b$, $c$ divide $d$.

Por supuesto, un máximo común divisor, si es que existe, está determinado únicamente a la multiplicación por invertible elementos.

En una única factorización de dominio (UFD) un MCD existe para cada par de elementos: acaba de tomar el producto de todos los irreductible divisores con el mínimo exponente (elementos irreductibles que difieren en la multiplicación por una invertible debe ser identificado). Este es el vacío del producto, es decir, $1$ si los dos elementos no tienen en común factores irreducibles.

Tenga en cuenta también que, en general, los dominios que uno tiene que distinguir entre el primer y irreductible elementos. Un valor distinto de cero y noninvertible elemento $p$ es

• el primer caso, para todos los $a,b$ si $p$ divide $ab$, $p$ divide $a$ o $p$ divide $b$;

• irreducible si, para todos los $a,b$ si $p=ab$, $a$ es invertible o $b$ es invertible.

Es fácil demostrar que un primer elemento también es irreducible. Por otro lado, una irreductible elemento no puede ser primo.

Resulta que esta es una de las claves para un dominio único de la factorización. De hecho, un dominio $R$ ha factorización única si y sólo si

1. $R$ tiene el ascendente de la cadena de condición de director ideales;
2. cada elemento irreductible en $R$ es primo.

La primera condición que asegura la existencia de una factorización en un producto de elementos irreductibles; la segunda condición que asegura la unicidad.

El general de Gauss lema, que es demostrado esencialmente de la misma manera como se demostró en el caso de $R=\mathbb{Z}$ (e $Q=\mathbb{Q}$), es el paso clave en la demostración de que si $R$ es un disco flash usb, a continuación, también se $R[x]$ es un UFD.

Por otro lado, el de Bézout propiedad de la DPC no necesita tener una unidad flash usb. Se mantiene cuando $R$ es un director ideal de dominio (PID), pero tan pronto como pasamos a $R[x]$, la de Bézout propiedad no se sostiene, a menos que $R$ es un campo. De hecho, el ejemplo es el mismo que usa: tome $r\in R$ un valor distinto de cero y noninvertible elemento (que existe si $R$, no es un campo); a continuación, $1$ es fácilmente visto a un máximo común divisor de a $r$ $x$ $R[x]$ de acuerdo a la definición anterior, pero al no existir $f,g\in R[x]$ tal que $$ 1=rf(x)+xg(x) $$ (ha $r=2$$R=\mathbb{Z}$).

Puede utilizar $\mathbb{R}[x,y]$ para obtener una interpretación geométrica de por qué el MCD no puede satisfacer la propiedad de Bézout. Considere dos irreductible distintas cónicas, dicen que el círculo definido por el polinomio $x^2+y^2-1$ y la parábola definida por $y-x^2$. Un MCD de estos polinomios es $1$, pero no puede existir polinomios $f(x)$$g(x)$, de modo que $$ 1=(x^2+y^2-1)f(x)+(y-x^2)g(x) $$ por la sencilla razón de que la relación no puede mantener a los dos puntos donde el círculo y la parábola se cortan.