¿Cómo puedo calcular exponentes no enteros?

Question

Puedo calcular el resultado de $x^y$ que $y \in\mathbb{N}, x \neq 0$ mediante una función recursiva simple:

$$ f(x,y) = \begin {cases} 1 & y = 0 \\ (x)f(x, y-1) & y > 0 \end {casos} $$

o, quizás, más simplemente, multiplicando $x$ sí $y$ veces.

Por desgracia, estoy seguro de cómo me puede aproximar numéricamente $x^y$ para los no enteros, racionales.

Por ejemplo, ¿qué método puedo utilizar para aproximado de 3^3.3?

Si es posible, me gustaría ser capaz de hacer esto usando sólo las operaciones elementales de cálculo, es decir, la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Answer 1

Voy a considerar el problema de la informática $x^\frac1{q}, \; q > 0$; como ya he mencionado en los comentarios, se puede descomponer cualquier número racional positivo como $m+\dfrac{p}{q}$ donde $m,p$ son números enteros no negativos, $q$ es un entero positivo, y $p < q$. Así, para el cómputo de los $x^{m+\frac{p}{q}}$, se podría utilizar el binario exponenciación en $x^m$ $\left(x^\frac1{q}\right)^p$ y multiplicar los resultados en consecuencia.

A. N. Khovanskiĭ, en su libro sobre fracciones continuas, muestra una continuación de la fracción de representación para el binomio de la función:

$$(1+z)^\alpha=1+\cfrac{2\alpha z}{2+(1-\alpha)z-\cfrac{(1-\alpha^2)z^2}{3(z+2)-\cfrac{(4-\alpha^2)z^2}{5(z+2)-\cfrac{(9-\alpha^2)z^2}{7(z+2)-\cdots}}}}$$

which converges for $|\arg(z+1)| < \pi$.

Letting $z=x-1$ and $\alpha=\dfrac1{q}$, one can then evaluate this continued fraction (with, say, Lentz-Thompson-Barnett) to generate a "seed" that can be subsequently polished with Newton-Raphson, Halley, or any of a number of iterations with high-order convergence. You'll have to experiment with how accurate a seed you need to start up the iteration, by picking a not-too-small tolerance when evaluating the continued fraction.

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Here's some Mathematica code demonstrating what I've been saying earlier, for computing $\sqrt[3]{55}$:

With[{q = 3, t = 55, prec = 30},
 y = N[2 + (1 - 1/q) (t - 1), prec];
 c = y; d = 0; k = 1;
 While[True,
  u = (k^2 - q^-2) (t - 1)^2; v = (2 k + 1) (t + 1);
  c = v - u/c; d = 1/(v - u d);
  h = c*d; y *= h;
  If[Abs[h - 1] <= 10^-4, Break[]];
  k++];
 FixedPoint[
  Function[x, x ((1 + q) t - x^q (1 - q))/(x^q (1 + q) - (1 - q) t)], 
  1 + 2 (t - 1)/q/y]]

Here, I've arbitrarily chosen to stop when the continued fraction has already converged to $\aprox 4$ digits, and then polished the result with Halley's method. The result here is good to $\aprox 28$ dígitos. De nuevo, tendrá que experimentar en la precisión frente a expensas de la evaluación de la "semilla", así como escoger el adecuado método de iteración para el pulido de la semilla.

Answer 2

Hay un concepto de uso de "fracciones de fracciones continuas", inventado por D. Gómez Morin , ver http://domingogomez.web.officelive.com/gcf.aspx . He tocado el violín hace algún tiempo con esto y creo recordar que podemos encontrar las raíces de m-esima de la orden y que la aparente complexitiy de la "fraccional continuó fracción" se reduce a las fracciones racionales aplica de forma recursiva. Voy a tratar próximos días para recuperar el algoritmo de nuevo, pero tal vez el enlace a la página es ya útil.
Acabo de encontrar la pista de la D. G. Morin a un extracto de Steven Finch del libro "constantes matemáticas", donde S. F. menciona también este método en una compacta camino (consulte la página 4 de http://assets.cambridge.org/052181/8052/sample/0521818052ws.pdf ).

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[actualización] Para el primer enlace roto hay una entrada en el internet archive wayback: Domingo Fomez Morin [/update]